Calculation of load current of self-excited voltage inverter by harmonic analysis

Full Text

Введение

Настоящее время характеризуется применением большого числа различных полупроводниковых преобразователей, осуществляющих преобразование электрической энергии постоянного тока в электрическую энергию переменного тока. [1–5].

Такая задача решается применением инверторных схем. Для надежной работы таких преобразователей требуется тщательный подбор элементов схемы, который в данный момент осуществляется применением численных методов расчета, которые требуют значительного машинного времени и дальнейшей экспериментальной проверки на опытных макетах.

Предлагается аналитический метод расчета с использованием гармонических рядов. При этом возникает проблема нахождения сумм коэффициентов гармонического ряда [6–11].

В предлагаемой работе сумма ряда находится с использованием теории вычетов, что позволяет значительно сократить получение результата (действующего значения тока нагрузки) [12–15].

Теоретическое обоснование

Рассмотрим работу однофазного мостового автономного инвертора напряжения на нагрузку активно-индуктивного характера. Ключевые элементы инвертора представляют собой полностью управляемые силовые полупроводниковые приборы (GTO-тиристоры, транзисторы).

Процессы, происходящие в схеме, описываются уравнением (1), которое справедливо на интервале открытого состояния проводящей пары ключевых элементов, соответствующем половине периода Т:

$U=i_{н}R+\frac{d{i}_{н}}{dt},$ (1)

где U – напряжение источника питания; R, L – сопротивление и индуктивность нагрузки; I_н – ток нагрузки.

Если в уравнении (1) параметры реального режима, относящиеся к цепи постоянного тока, с помощью коммутационной функции ξ(t) привести к цепи переменного тока, то это уравнение приобретает вид, справедливый для любого момента времени:

$\xi \left(t\right)U=i_{н}R+\frac{d{i}_{н}}{dt}.$ (2)

Решение уравнения (2) может быть представлено в виде гармонических рядов

$i_{н}=\sum _k{A}_{1k}\cos k\omega t+\sum _k{A}_{2k}\sin k\omega t,$

$\frac{d{i}_{н}}{dt}=\sum _k{B}_{1k}\cos k\omega t+\sum _k{B}_{2k}\sin k\omega t,k=\mathrm{1,}\mathrm{3,}5\dots .$ (3)

После интегрирования выражения для коэффициентов ряда производной имеем

$B_{1k}=\frac{4}{T}\left[-i_{н\left(T/2\right)}-i_{н\left(0\right)}\right]+k\omega A_{2k},$ (4)

$B_{2k}=-k\omega A_{1k}.$ (5)

Известно [1, 2], что i_н(T/2)=-i_н(0) тогда

$B_{1k}=k\omega A_{2k}.$

Применительно к рассматриваемому случаю U=const, следовательно, гармонический ряд для ξ(t)U будет иметь вид

$\xi \left(t\right)U=\frac{4}{\pi }\sum _k\frac{U\sin k\omega t}{k},k=\mathrm{1,}\mathrm{3,}5\dots .$

По полученным выражениям для гармонических коэффициентов можно составить систему из двух уравнений:

для косинусных коэффициентов

$0=Lk\omega A_{2k}+A_{1k};$ (6)

для синусных коэффициентов

$\frac{4}{\pi k}U=-k\omega L{A}_{1k}+A_{2k}R;$ (7)

Совместное решение уравнений (6) и (7) дает выражения для коэффициентов соответствующего ряда тока нагрузки инвертора

$A_{1k}=\frac{-4U\omega L}{\pi \left[R^2+{\left(k\omega L\right)}^2\right]},$ (8)

$A_{2k}=\frac{4UR}{\pi k\left[R^2+{\left(k\omega L\right)}^2\right]}.$ (9)

Действующее значение k-й гармоники тока нагрузки определяется выражением:

$I_{нk}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{A_{1k}^2+A_{2k}^2}=\frac{2\sqrt{2}U}{\pi }\sqrt{\frac{1}{k^2\left[R^2+{\left(k\omega L\right)}^2\right]}}.$ (10)

Для определения действующего значения тока нагрузки I_н необходимо определить сумму ряда:

$\sum _k\frac{1}{k^2\left[R^2+{\left(k\omega L\right)}^2\right]},k=\mathrm{1,}\mathrm{3,}5\dots .$ (11)

Прямого суммирования этого ряда по всем нечетным гармоникам можно избежать, если воспользоваться теорией вычетов, с помощью которой можно найти сумму ряда (11).

Введем вспомогательную функцию комплексного переменного z:

$f\left(z\right)tg\left(\frac{\pi z}{2}\right),$

$f\left(z\right)={\left[{\left(zR\right)}^2+z^4{\left(\omega L\right)}^2\right]}^{-1}.$ (12)

Согласно [13, 14] имеем равенство:

$\sum _{k}f\left(k\right)=\frac{\pi }{4}\sum _{k}resf\left(z\right)tg\left(\frac{\pi z}{2}\right),m=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}4\dots .$ (13)

Определим вычеты вспомогательной функции f(z)tg(πz/2).

Корнями уравнения (12) являются

$z_{\mathrm{1,}2}=\mathrm{0,}{z}_{\mathrm{3,}4}=\pm j\frac{R}{\omega L}.$

Тогда

$resf\left(z\right)=\frac{1}{\pi \left[2z{R}^2+4z^3{\left(z\omega L\right)}^2\right]}.$ (14)

Подставляя значение корней z₃ и z₄ в (14), получим на основании (13) выражение для действующего значения тока нагрузки

$I_{н}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{U}{R}\sqrt{\frac{\pi }{2}-\frac{\omega L}{R}th\left(\frac{\pi R}{2\omega L}\right)}.$ (15)

Кроме того, представляется возможным найти значение тока в момент коммутации ключевых элементов инвертора i_н(0), для этого необходимо найти сумму ряда (8) косинусных коэффициентов.

Введем новую вспомогательную функцию комплексного переменного z:

$f\left(z\right)=\frac{1}{\pi \left[R^2+{\left(k\omega L\right)}^2\right]}.$ (16)

Для определения вычетов функции (16) найдем корни знаменателя:

$z_{\mathrm{1,}2}=\pm j\frac{R}{\omega L}.$ (17)

И на основании равенства (13) найдем сумму ряда для косинусных коэффициентов и выражение для тока нагрузки в момент коммутации вентилей:

$i_{н}\left(0\right)=\frac{U}{R}th\left(\frac{\pi R}{2\omega L}\right).$ (18)

Экспериментальные исследования

Достоверность выражения (15) подтверждается весьма удовлетворительным совпадением результатов расчета по этому выражению с расчетами по гармоникам с использованием выражения (10) и вполне удовлетворительным совпадением с результатами эксперимента. Эксперимент был выполнен на лабораторном стенде при частоте коммутации вентилей инвертора f=100 Гц для различных значений сопротивления R и индуктивности L нагрузки. Кривые токов нагрузки, полученные экспериментально, представлены на Рис. 1. Результаты эксперимента и расчетов представлены на Рис. 2.

 

Рис. 1. Форма кривых тока нагрузки однофазного мостового автономного инвертора напряжения: a – R=194 Ом, L=0,397 Гн; b – R=194 Ом, L=0,2 Гн; c – R=194 Ом, L=0,051 Гн

Fig. 1. The shape of the load current curves of a single-phase bridge autonomous voltage inverter: a – R=194 Ohm, L=0.397 H; b – R=194 Ohm, L=0.2 H; c – R=194 Ohm, L=0.051 H

 

Рис. 2. Результаты экспериментального исследования и расчетов для действующего значения тока нагрузки (сплошные линии – расчет по гармоникам и выражению (15), штриховые линии – эксперимент): 1 – R=47 Ом; 2 – R=107 Ом; 3 – R=194 Ом

Fig. 2. Results of the experimental study and calculations for the effective value of the load current (solid lines – calculation by harmonics and expression (15), dashed lines – experiment): 1 – R=47 Ohm; 2 – R=107 Ohm; 3 – R=194 Ohm

 

Выводы

Рассмотрен способ вычисления действующего значения тока нагрузки автономного инвертора напряжения с использованием теории вычетов, не требующий разложения кривой тока в гармонический ряд и последующего его суммирования.

Использование теории вычетов значительно упрощает поиск конечного результата и сокращает объем вычислительной работы.

Справедливость полученных результатов подтверждена экспериментальными исследованиями опытного образца однофазного инвертора напряжения.

Авторы заявляют, что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

The authors state that:

1. They have no conflict of interest;
2. This article does not contain any studies involving human subjects.

About the authors

Boris A. Trifonov

Emperor Alexander I St.-Petersburg State Transport University

Email: trifoboba45@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5816-3473
SPIN-code: 2262-9246

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor

Russian Federation, Saint-Petersburg

Gennady E. Sereda

Emperor Alexander I St.-Petersburg State Transport University

Author for correspondence.
Email: gennady.sereda@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0754-6682
SPIN-code: 9682-8744

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor

Russian Federation, Saint-Petersburg

References

Supplementary files