Force control in girder-cable systems

Gleb A. Averchenko; Аверченко Глеб Александрович; Kirill A. Vasilev; Васильев Кирилл Андреевич; Elena A. Rudakova; Рудакова Елена Андреевна; Anastasiya I. Shashko; Шашко Анастасия Игоревна; Vyacheslav A. Borisov; Борисов Вячеслав Андреевич

doi:10.17816/transsyst2021745-13

Регулирование усилий в балочно-вантовых системах

Авторы: Аверченко Г.А.¹, Васильев К.А.¹, Рудакова Е.А.¹, Шашко А.И.¹, Борисов В.А.¹
Учреждения:
1. Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Выпуск: Том 7, № 4 (2021)
Страницы: 5-13
Раздел: Обзоры
URL: https://transsyst.ru/transj/article/view/90594
DOI: https://doi.org/10.17816/transsyst2021745-13
ID: 90594

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

Объектом исследования являются усилия в балочно-вантовых системах. Внедрение в строительство данных систем связано с задачей о создании предварительного напряжения с целью регулирования напряженно-деформированного состояния балочно-вантовой системы в целом. Преднапряжение позволит рационально использовать в конструкции высокопрочные материалы, экономично запроектировать конструкцию. При проектировании балочно-вантовых конструкций пролетных строений мостов приходится определять последовательность напряжения элементов конструкции – вантов с целью регулирования усилий в балочном элементе конструкции. Эта задача и рассматривается в данной статье. Для регулирования напряженно-деформированного состояния системы с помощью натяжения вантов в оптимальной последовательности используется метод динамического программирования. Для решения задач приведены формулы для выходной величины и критерия оптимальности, а также матрицы. В итоге найдены интересующие значения выходных величин на всех этапах натяжения вантов.

Ключевые слова

балочно-вантовая система, преднапряжение, напряженно-деформированное состояние, натяжение вантов, метод динамического программирования, выходная величина, критерий оптимальности

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Решению задач, поставленных в области научно-технического прогресса в транспортном строительстве, будет способствовать внедрение новых экономичных конструкций, среди которых значительное место занимают балочно-вантовые [1].

Широкое внедрение в практику строительства балочно-вантовых систем связано с решением ряда задач проектирования, важнейшей из которых является создание предварительного напряжения с целью регулирования напряженно-деформированного состояния балочно-вантовой системы в целом.

Преднапряжение сложной и ответственной конструкции балочно-вантового пролетного строения – обычно осуществляется путем многократных натяжений вант с постепенным приближением к проектным значениям [2]. Такой путь создания преднапряжения весьма трудоемок. Очевидно, что метод подбора не гарантирует получение оптимального решения и может быть улучшен, что привело бы к экономии времени и средств.

ОПТИМАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАТЯЖЕНИЯ ВАНТОВ

Решить задачу оптимальной последовательности натяжения вантов с целью регулирования напряженно-деформированного состояния системы можно, используя метод динамического программирования.

Опустив общие сведения из теории оптимального управления, постановку и решение задачи можно представить следующим образом.

Пусть напряженно-деформированное состояние системы характеризуется некоторой выходной величиной

$\bar{X} = \bar{F} (\bar{Y}, \bar{Ψ}, \bar{P}, \bar{H})$ , (1)

где $\bar{X}$ – выходная величина (изгибающие моменты, усилия, перемещения); $\bar{Y}$ – геометрические характеристики системы; $\bar{Ψ}$ – жесткостные характеристики системы; $\bar{P}$ – внешняя нагрузка; $\bar{H}$ – усилия преднапряжения вантов; $\bar{F}$ $\bar{F}$ – закон соответствия между перечисленными множествами функций [3].

Заданы начальное и конечное напряженно-деформированное состояние системы. Поскольку геометрические и физические параметры объекта обычно не варьируются, вектор функции можно включить в состав оператора . Тогда зависимость (1) можно записать в виде

$\bar{X} = \bar{Φ} (\bar{H})$

Здесь $\bar{Φ}$ – нелинейный оператор, который может быть задан различными способами – с помощью формул, графиков, таблиц.

Состояние балочно-вантовой системы в процессе управления может быть охарактеризовано одним из параметров, из-за меняющимся в процессе управления и в достижении экстремума, которого мы заинтересованы [4]. Такими параметрами в рассматриваемой задаче могут быть изгибающие моменты или поперечные силы в балке, перемещения точек балки, минимум которых мы хотим получить в процессе создания преднапряжения системы.

В процессе управления мы хотим получить некоторый выигрыш, т. е. преследуем определенную цель. Выбор цели управления может быть, в общем, произвольным [5].

В зависимости от той или иной цели может быть сформулирован некоторый критерий оптимальности J.

$J = m a x_{0 \leq t \leq T} |{\bar{M}}_{(t)}^{*} - \bar{M_{(t)}}|$ , (2)

Для нашей задачи о максимальном выравнивании изгибающих моментов в балке жесткости критерий оптимальности примет вид

$J = {\sum {f_{t}}^{0}}_{t = 1}^{N} (X_{(t - 1),} U_{(t)}),$

и требуется выбрать управляющие параметры так, чтобы обеспечить условие

$m i n J = m i n m a x |{\bar{M}}_{(t)}^{*} - {\bar{M}}_{(t)}| = J (M_{0})$ , (3)

Условие (3) определяет системы управления, называемые на минимакснооптимальными. Здесь $M_{t}^{*}$ – некоторое заданное распределение изгибающих моментов в балке; $M_{(t)}$ – текущее значение изгибающих моментов; $J (M_{0})$ – минимальное значение, зависящее от начальных условий.

Вектор $M_{t}^{*}$ представляет собой некоторую наперед заданную последовательность чисел, например, допустимые значения изгибающих моментов в балке. Разность ${\bar{M}}^{*} - M$ будет представлять собой меру «ухудшения» состояния системы в процессе управления, и нашей задачей будет являться минимизация этого «ухудшения» [6]. Таким образом, задача формулируется следующим образом.

Задана дискретная управляемая система:

$X_{t} = f (x_{(t - 1)}, u_{(t)}), U_{(t)} \in U_{(t)} (x_{(t - 1)}), t = 1 . . ., N$ , (4)

Требуется перевести систему из заданного начального со стояния $X_{0}$ в конечное состояние $X_{(N)}$ путем вариации вектора управления $\bar{U}$ так, чтобы критерий оптимальности J получил экстремальное значение.

При решении этой задачи необходимо знать зависимость выходных параметров от усилий натяжения вантов, являющихся управляющими параметрами [7, 8]. Эту информацию можно получить на основании расчета рассматриваемой системы по деформированной схеме. Не останавливаясь на сущности этого метода, ограничимся лишь некоторыми существенными для последующего изложения замечаниями [9, 10]. В процессе натяжения вантов не происходит значительных перемещений опорных узлов, которые могли бы существенно изменить геометрические соотношения в расчетной схеме конструкции [11]. Поэтому в большинстве случаев соотношения между управляющими и выходными параметрами являются линейными либо достаточно близкими к линейным, что допускает применение принципа независимости действия сил.

Рис. Схема балочно-вантовой системы: 1 – балка; 2 – ванты

Рассмотрим балочно-вантовую систему, представленную на Рис. Пусть система находится в равновесии напряженно-деформированном состоянии $S_{0}$ . При этом усилия в вантах имеют значения $U_{i 0}$ .

Дадим і-тому ванту единичное приращение усилия $U_{i i} = 1$ [12, 13]. В результате получим новое напряженно-деформированное состояние $S_{01}$ системы, для которого вычислим приращение усилий во всех остальных вантах, а также единичные значения интересующей нас выходной величины $X_{i j}$ . Проделав аналогичные операции для всех вантов, получим матрицы

$\bar{U} = |\begin{matrix} U_{11} & . & . & . & U_{1 n} \\ . & . & . & . & . \\ U_{n 1} & . & . & . & U_{n n} \end{matrix}|; X = |\begin{matrix} X_{11} & . & . & . & X_{1 n} \\ . & . & . & . & . \\ X_{n 1} & . & . & . & X_{n n} \end{matrix}|$ , (5)

Матрица $\bar{U}$ - квадратная порядка n по числу вантов. Матрица X – прямоугольная, имеет размерность mхn, где m – произвольное число точек, в которых фиксируются значения выходной величины [14].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Собственные значения усилий $U_{i}^{*}$ напряжения за один раз каждого ванта для перевода системы от начального состояния $S_{0}$ в конечное состояние $S_{k}$ находят из матричного уравнения

$U \cdot U^{*} = P$ , (6)

где элементы $P_{i} = U_{i k} - U_{i 0}$ представляют собой известные из заданных условий приращения усилий в вантах [15]. Изменения напряженно-деформированного состояния системы в процессе поочередного натяжения вантов в последовательности 1, 2,... могут быть представлены в виде

$|\begin{matrix} X_{11} & . & . & . & X_{1 n} \\ X_{21} & . & . & . & X_{2 n} \\ . & . & . & . & . \\ X_{m 1} & . & . & . & X_{m n} \end{matrix}| \{|\begin{matrix} U_{1}^{*} \\ 0 \\ . . . \\ 0 \end{matrix}| + |\begin{matrix} 0 \\ U_{2}^{*} \\ . . . \\ 0 \end{matrix}| + . . . + |\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ . . . \\ U_{n}^{*} \end{matrix}|\} = |\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \\ . . . \\ P_{m} \end{matrix}|$ , (7)

где $P_{i}$ - конечные значения усилий преднапряжения вантов.

В этом решении нас более интересуют значения выходных величин на всех этапах натяжения. Поэтому запишем левую часть (7) в виде

$X = |\begin{matrix} X_{11} U_{1}^{*} & X_{12} U_{2}^{*} & . . & X_{1 n} U_{n}^{*} \\ X_{21} U_{1}^{*} & X_{22} U_{2}^{*} & . . & X_{2 n} U_{n}^{*} \\ . & . & . . & . \\ X_{m 1} U_{1}^{*} & X_{m 2} U_{2}^{*} & . . & X_{m n} U_{n}^{*} \end{matrix}|$ , (8)

Значения выходных величин системы для любого t-го этапа натяжения равны сумме набора из t столбцов матрицы (8).

Авторы заявляют что:

У них нет конфликта интересов.
Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.