Force control in girder-cable systems

Gleb A. Averchenko; Аверченко Глеб Александрович; Kirill A. Vasilev; Васильев Кирилл Андреевич; Elena A. Rudakova; Рудакова Елена Андреевна; Anastasiya I. Shashko; Шашко Анастасия Игоревна; Vyacheslav A. Borisov; Борисов Вячеслав Андреевич

doi:10.17816/transsyst2021745-13

Force control in girder-cable systems

Authors: Averchenko G.A.¹, Vasilev K.A.¹, Rudakova E.A.¹, Shashko A.I.¹, Borisov V.A.¹
Affiliations:
1. Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University
Issue: Vol 7, No 4 (2021)
Pages: 5-13
Section: Reviews
URL: https://transsyst.ru/transj/article/view/90594
DOI: https://doi.org/10.17816/transsyst2021745-13
ID: 90594

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

The object of the study is the forces in the beam-cable systems. The introduction of these systems in construction is associated with the task of creating a pre-stress in order to regulate the stress-strain state of the beam-cable system as a whole. Prestressing will make it possible to rationally use high-strength materials in the structure, and to design the structure economically. When designing girder-cable-stayed structures of bridge spans, it is necessary to determine the sequence of stresses of the structural elements-shrouds in order to regulate the forces in the beam element of the structure. This problem is considered in this article. The dynamic programming method is used to regulate the stress-strain state of the system by pulling the shrouds in the optimal sequence. To solve the problems, formulas for the output value and the optimality criterion, as well as the matrix, are given. As a result, the values of the output values of interest at all stages of the tension of the shrouds are found.

Keywords

beam-cable system, prestressing, stress-strain state, cable tension, dynamic programming method, output value, optimality criterion

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Решению задач, поставленных в области научно-технического прогресса в транспортном строительстве, будет способствовать внедрение новых экономичных конструкций, среди которых значительное место занимают балочно-вантовые [1].

Широкое внедрение в практику строительства балочно-вантовых систем связано с решением ряда задач проектирования, важнейшей из которых является создание предварительного напряжения с целью регулирования напряженно-деформированного состояния балочно-вантовой системы в целом.

Преднапряжение сложной и ответственной конструкции балочно-вантового пролетного строения – обычно осуществляется путем многократных натяжений вант с постепенным приближением к проектным значениям [2]. Такой путь создания преднапряжения весьма трудоемок. Очевидно, что метод подбора не гарантирует получение оптимального решения и может быть улучшен, что привело бы к экономии времени и средств.

ОПТИМАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАТЯЖЕНИЯ ВАНТОВ

Решить задачу оптимальной последовательности натяжения вантов с целью регулирования напряженно-деформированного состояния системы можно, используя метод динамического программирования.

Опустив общие сведения из теории оптимального управления, постановку и решение задачи можно представить следующим образом.

Пусть напряженно-деформированное состояние системы характеризуется некоторой выходной величиной

$\bar{X} = \bar{F} (\bar{Y}, \bar{Ψ}, \bar{P}, \bar{H})$ , (1)

где $\bar{X}$ – выходная величина (изгибающие моменты, усилия, перемещения); $\bar{Y}$ – геометрические характеристики системы; $\bar{Ψ}$ – жесткостные характеристики системы; $\bar{P}$ – внешняя нагрузка; $\bar{H}$ – усилия преднапряжения вантов; $\bar{F}$ $\bar{F}$ – закон соответствия между перечисленными множествами функций [3].

Заданы начальное и конечное напряженно-деформированное состояние системы. Поскольку геометрические и физические параметры объекта обычно не варьируются, вектор функции можно включить в состав оператора . Тогда зависимость (1) можно записать в виде

$\bar{X} = \bar{Φ} (\bar{H})$

Здесь $\bar{Φ}$ – нелинейный оператор, который может быть задан различными способами – с помощью формул, графиков, таблиц.

Состояние балочно-вантовой системы в процессе управления может быть охарактеризовано одним из параметров, из-за меняющимся в процессе управления и в достижении экстремума, которого мы заинтересованы [4]. Такими параметрами в рассматриваемой задаче могут быть изгибающие моменты или поперечные силы в балке, перемещения точек балки, минимум которых мы хотим получить в процессе создания преднапряжения системы.

В процессе управления мы хотим получить некоторый выигрыш, т. е. преследуем определенную цель. Выбор цели управления может быть, в общем, произвольным [5].

В зависимости от той или иной цели может быть сформулирован некоторый критерий оптимальности J.

$J = m a x_{0 \leq t \leq T} |{\bar{M}}_{(t)}^{*} - \bar{M_{(t)}}|$ , (2)

Для нашей задачи о максимальном выравнивании изгибающих моментов в балке жесткости критерий оптимальности примет вид

$J = {\sum {f_{t}}^{0}}_{t = 1}^{N} (X_{(t - 1),} U_{(t)}),$

и требуется выбрать управляющие параметры так, чтобы обеспечить условие

$m i n J = m i n m a x |{\bar{M}}_{(t)}^{*} - {\bar{M}}_{(t)}| = J (M_{0})$ , (3)

Условие (3) определяет системы управления, называемые на минимакснооптимальными. Здесь $M_{t}^{*}$ – некоторое заданное распределение изгибающих моментов в балке; $M_{(t)}$ – текущее значение изгибающих моментов; $J (M_{0})$ – минимальное значение, зависящее от начальных условий.

Вектор $M_{t}^{*}$ представляет собой некоторую наперед заданную последовательность чисел, например, допустимые значения изгибающих моментов в балке. Разность ${\bar{M}}^{*} - M$ будет представлять собой меру «ухудшения» состояния системы в процессе управления, и нашей задачей будет являться минимизация этого «ухудшения» [6]. Таким образом, задача формулируется следующим образом.

Задана дискретная управляемая система:

$X_{t} = f (x_{(t - 1)}, u_{(t)}), U_{(t)} \in U_{(t)} (x_{(t - 1)}), t = 1 . . ., N$ , (4)

Требуется перевести систему из заданного начального со стояния $X_{0}$ в конечное состояние $X_{(N)}$ путем вариации вектора управления $\bar{U}$ так, чтобы критерий оптимальности J получил экстремальное значение.

При решении этой задачи необходимо знать зависимость выходных параметров от усилий натяжения вантов, являющихся управляющими параметрами [7, 8]. Эту информацию можно получить на основании расчета рассматриваемой системы по деформированной схеме. Не останавливаясь на сущности этого метода, ограничимся лишь некоторыми существенными для последующего изложения замечаниями [9, 10]. В процессе натяжения вантов не происходит значительных перемещений опорных узлов, которые могли бы существенно изменить геометрические соотношения в расчетной схеме конструкции [11]. Поэтому в большинстве случаев соотношения между управляющими и выходными параметрами являются линейными либо достаточно близкими к линейным, что допускает применение принципа независимости действия сил.

Рис. Схема балочно-вантовой системы: 1 – балка; 2 – ванты

Рассмотрим балочно-вантовую систему, представленную на Рис. Пусть система находится в равновесии напряженно-деформированном состоянии $S_{0}$ . При этом усилия в вантах имеют значения $U_{i 0}$ .

Дадим і-тому ванту единичное приращение усилия $U_{i i} = 1$ [12, 13]. В результате получим новое напряженно-деформированное состояние $S_{01}$ системы, для которого вычислим приращение усилий во всех остальных вантах, а также единичные значения интересующей нас выходной величины $X_{i j}$ . Проделав аналогичные операции для всех вантов, получим матрицы

$\bar{U} = |\begin{matrix} U_{11} & . & . & . & U_{1 n} \\ . & . & . & . & . \\ U_{n 1} & . & . & . & U_{n n} \end{matrix}|; X = |\begin{matrix} X_{11} & . & . & . & X_{1 n} \\ . & . & . & . & . \\ X_{n 1} & . & . & . & X_{n n} \end{matrix}|$ , (5)

Матрица $\bar{U}$ - квадратная порядка n по числу вантов. Матрица X – прямоугольная, имеет размерность mхn, где m – произвольное число точек, в которых фиксируются значения выходной величины [14].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Собственные значения усилий $U_{i}^{*}$ напряжения за один раз каждого ванта для перевода системы от начального состояния $S_{0}$ в конечное состояние $S_{k}$ находят из матричного уравнения

$U \cdot U^{*} = P$ , (6)

где элементы $P_{i} = U_{i k} - U_{i 0}$ представляют собой известные из заданных условий приращения усилий в вантах [15]. Изменения напряженно-деформированного состояния системы в процессе поочередного натяжения вантов в последовательности 1, 2,... могут быть представлены в виде

$|\begin{matrix} X_{11} & . & . & . & X_{1 n} \\ X_{21} & . & . & . & X_{2 n} \\ . & . & . & . & . \\ X_{m 1} & . & . & . & X_{m n} \end{matrix}| \{|\begin{matrix} U_{1}^{*} \\ 0 \\ . . . \\ 0 \end{matrix}| + |\begin{matrix} 0 \\ U_{2}^{*} \\ . . . \\ 0 \end{matrix}| + . . . + |\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ . . . \\ U_{n}^{*} \end{matrix}|\} = |\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \\ . . . \\ P_{m} \end{matrix}|$ , (7)

где $P_{i}$ - конечные значения усилий преднапряжения вантов.

В этом решении нас более интересуют значения выходных величин на всех этапах натяжения. Поэтому запишем левую часть (7) в виде

$X = |\begin{matrix} X_{11} U_{1}^{*} & X_{12} U_{2}^{*} & . . & X_{1 n} U_{n}^{*} \\ X_{21} U_{1}^{*} & X_{22} U_{2}^{*} & . . & X_{2 n} U_{n}^{*} \\ . & . & . . & . \\ X_{m 1} U_{1}^{*} & X_{m 2} U_{2}^{*} & . . & X_{m n} U_{n}^{*} \end{matrix}|$ , (8)

Значения выходных величин системы для любого t-го этапа натяжения равны сумме набора из t столбцов матрицы (8).

Авторы заявляют что:

У них нет конфликта интересов.
Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.