Evaluation of the effectiveness of incomplete phase pulse width modulation algorithms in the converter-electric motor system

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Системы широтно-импульсной модуляции (ШИМ) находят самое широкое использование при синтезе разнообразных систем управления электроприводами. На транспорте, в настоящее время, основное применение находит асинхронный электропривод, для управления которым, как правило, используются системы частотного скалярного и векторного управления. Одной из важнейших задач ШИМ напряжения, формируемого электронно-ключевым преобразователем в системе преобразователь–электродвигатель, является снижение пульсаций тока на периоде модуляции [1–6]. При этом мера расхождения между желаемым напряжением и его импульсной аппроксимацией является важнейшей характеристикой качества модуляции. Чем меньше это расхождение, тем выше качество модуляции. Показатели качества ШИМ существенно зависят от частоты следования импульсов. При этом, с одной стороны, увеличение частоты модуляции позволяет более точно формировать напряжение на выходе преобразователя частоты, приблизив его к синусоидальной функции, а, с другой стороны, ведет к возрастанию динамических потерь в электронных ключах этого преобразователя, который является важнейшим силовым элементом электропривода. Таким образом, повышение качества модуляции лишь за счет повышения частоты модуляции не дает желаемого эффекта и приводит к дополнительным потерям.

В работе [7] установлено, что основным критерием, определяющим качество модуляции, по которому следует сравнивать алгоритмы ШИМ, является дисперсия тока в нагрузке. При этом важнейшим показателем качества ШИМ является также число коммутаций ключей преобразователя частоты. Это обусловлено тем, что уменьшение числа коммутаций ключей на периоде модулирующей функции ведет к снижению динамических потерь энергии в электронных ключах. В работах [3–6, 8–13] показано, что для минимизации числа коммутаций ключей преобразователя частоты целесообразно применение неполнофазных алгоритмов ШИМ (Н-ШИМ). Возможные алгоритмы Н-ШИМ достаточно подробно рассмотрены в работе [14].

Очевидно, что реализация любого алгоритма Н-ШИМ приведет к увеличению дисперсии тока, которая, как отмечалось, является критерием качества модуляции. Однако, минимизация числа коммутаций, которая имеет место в Н-ШИМ ведет к снижению динамических потерь энергии в ключах, что позволит увеличить частоту модуляции и уменьшить дисперсию тока.

Целью статьи является оценка алгоритмов модуляции Н-ШИМ трехфазного напряжения по величине дисперсии тока при заданных потерях энергии в ключевых элементах. Для решения указанной задачи необходимо найти интегральную дисперсию тока, порождаемую алгоритмы Н-ШИМ и сравнить ее с интегральной дисперсией тока, которая имеет место при полнофазной ШИМ (П-ШИМ).

ЛОКАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ТОКА В АЛГОРИТМАХ НЕПОЛНОФАЗНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ШИМ

Известно, что широтно-импульсная модуляция трехфазного напряжения реализуется на трех электронно-ключевых полумостах преобразователя частоты (Рис. 1).

 

Рис. 1. Иллюстрация широтно-импульсной модуляции напряжения

Fig. 1. Illustration of pulse-width voltage modulation

 

Полумосты трехфазного электронно-ключевого моста далее обозначаются A, B, C. Управление полумостами осуществляется так, что включен либо верхний, либо нижний ключ. Следовательно, для описания управления полумостами X = A, B, C достаточно задать, коммутационные импульсные функции верхних ключей.

Предполагается, что заданы модулирующие функции фазных напряжений g_A = u_A /U_d ; g_B = u_B /U_d ; g_C = u_C /U_d , где u_A, u_B, u_C – фазные напряжения на нагрузке; U_d – напряжение источника питания, которые удовлетворяют соотношению .

Модулирующие функции линейных напряжений g_AB = u_AB /U_d ; g_BC = u_BC /U_d ; g_CA = u_CA /U_d связаны с модулирующими функциями фазных напряжений и модулирующими функциями потенциалов полумостов известными соотношениями [14]:

$g_{AB}=g_A-g_B={\gamma }_A-{\gamma }_B; g_{BC}=g_B-g_C={\gamma }_B-{\gamma }_C{g}_{CA}=g_C-g_A={\gamma }_C-{\gamma }_A$,

где γ_X – скважность импульса в полумосте X = A, B, C.

В работе [15] показано, что если заданы модулирующие функции фазных напряжений g_A(τ), g_B(τ), g_C(τ), то булева переменная x₀, определяющая чередование включенного состояния верхних и нижних ключей мостовой схемы (Рис. 1) будет иметь вид:

$x_0\left(\beta \right)=1(-g_A(\tau -\beta )\cdot g_B(\tau -\beta )\cdot g_C(\tau -\beta \left)\right)$, (1)

где τ – относительное время; β ∈ [–f ^*/12, f ^*/12] – параметр сдвига булевой функции; f ^* – относительная частота модуляции.

В алгоритме Н-ШИМ в двух фазах нагрузки выполняется однофазная модуляция напряжения, а в третьей фазе – двухфазная. Для определения дисперсии тока в нагрузке достаточно рассмотреть ситуацию, когда модулирующие функции фазных напряжений удовлетворяют неравенствам g_A ≥ g_B ≥ g_C. Будем полагать, что включен нижний ключ полумоста С и потенциал узла С равен нулю. Тогда между узлами A–С и B–C трехфазной мостовой цепи (Рис. 1) будет однофазная модуляция, между узлами A–B – двухфазная.

Локальная дисперсия тока при однофазной модуляции, как показано в работе [7] определяется выражением

$\begin{array}{c}{D}_X=D({\gamma }_X,\Delta {\gamma }_X,\Delta {\alpha }_X)={\epsilon }^2\cdot \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{D({\gamma }_X,{\alpha }_X,\Delta {\gamma }_X,\epsilon )}{{\epsilon }^2}=\\ =\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{{\gamma }_X}^2{\left(1-{\gamma }_X\right)}^2\cdot +12\cdot {{\gamma }_X}^2\cdot \Delta {{\alpha }_X}^2-\\ -{\gamma }_X\cdot \Delta {\alpha }_X\cdot \Delta {\gamma }_X\cdot \left(3-{{\gamma }_X}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_X\right)+\Delta {{\gamma }_X}^2/10\end{array}\right)\end{array}$,

где $\Delta {\alpha }_X={\alpha }_X-(1-{\gamma }_X)/2$ – коэффициент смещения импульса относительно середины интервала ШИМ; γ_X – моделирующая функция потенциала полумоста (потенциал узла X); ∆γ_X – приращение моделирующей функции полумоста на интервале модуляции.

Используя это выражение, запишем локальную дисперсию тока  при однофазной модуляции между узлами A–С и дисперсию  между узлами B–C трехфазной мостовой цепи (Рис. 1) в следующем виде:

$D_{AC}=\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{g_{AC}}^2\cdot {\left(1-g_{AC}\right)}^2\cdot +12\cdot {g_{AC}}^2\cdot \Delta {{\alpha }_{AC}}^2-\\ -g_{AC}\cdot \Delta {\alpha }_{AC}\cdot \Delta g_{AC}\cdot \left(3-{g_{AC}}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_A\right)+\Delta {g_{AC}}^2/10\end{array}\right)$,

$D_{BC}=\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{g_{BC}}^2{\left(1-g_{BC}\right)}^2\cdot +12\cdot {g_{BC}}^2\cdot \Delta {{\alpha }_{BC}}^2-\\ -g_{BC}\cdot \Delta {\alpha }_{BC}\cdot \Delta g_{BC}\cdot \left(3-{g_{BC}}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_{BC}\right)+\Delta {g_{BC}}^2/10\end{array}\right)$,

где g_AC = g_A – g_C ; ∆g_AC = ∆g_A – ∆g_C ; ∆α_AС = ∆α_A – ∆α_С = 11/96⋅∆g_AС ; g_BC = g_B – g_C ; ∆g_BC = ∆g_B – ∆g_C ; ∆α_BС = ∆α_B – ∆α_C = 11/96⋅∆g_BC .

Локальная дисперсия межфазного тока i_AB при двухфазной модуляции на основании работы [7] определяется выражением

$D_{XY}(g_{XY},g_0)={\epsilon }^2\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{{(1-g_{XY})}^2\cdot {g_{XY}}^2}{48}+\frac{\Delta {{\alpha }_{XY}}^2\cdot \left(1+{(1-g_{XY})}^2\right)}{4}-\\ -\frac{\Delta {\alpha }_{XY}\cdot \Delta g_{XY}\cdot (11-3\cdot {g_{XY}}^2)}{96}+\frac{{g_0}^2\cdot {g_{XY}}^2}{4}+\frac{\Delta {g_{XY}}^2}{120}\end{array}\right)$

Используя это выражение, получим локальную дисперсию тока  между узлами A–B трехфазной мостовой цепи (Рис. 1):

$D_{AB}={\epsilon }^2\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{{(1-g_{AB})}^2\cdot {g_{AB}}^2}{48}+\frac{{g_0}^2\cdot {g_{AB}}^2}{4}+\frac{\Delta {{\alpha }_{AB}}^2\cdot \left(1+{(1-g_{AB})}^2\right)}{4}-\\ -\frac{\Delta {\alpha }_{AB}\cdot \Delta g_{AB}\cdot (11-3\cdot {g_{AB}}^2)}{96}+\frac{\Delta {g_{AB}}^2}{120}\end{array}\right)$,

где g_AB = g_A – g_B ; ∆g_AB = ∆g_A – ∆g_B ; ∆α_AB = ∆α_A – ∆α_B = 11/96⋅∆g_AB.

Так как линейные и фазные переменные этих дисперсий связаны между собой известными соотношениями, то сами дисперсии можно рассматривать как функции фазных переменных. Локальную дисперсию тока в нагрузке трехфазного моста можно найти как среднее значение дисперсий токов между полумостами X = A, B, C:

$D_{ABC}=D(g_X,\Delta g_X,\Delta {\alpha }_X,g_0)=\frac{D_{AB}+D_{BC}+D_{AC}}{3}$.

Локальная дисперсия токов в нагрузке трехфазного моста будет знакоположительной пульсирующей функцией с периодом пульсаций f ^*/6, где f ^* – относительная частота модуляции.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ТОКА

Поскольку наиболее востребованными являются алгоритмы с синусоидальными модулирующими функциями напряжений, то интегральную дисперсию тока будем находить при синусоидальных модулирующих функциях фазных напряжений X = 1, 2, 3 [7, 15]

$g_X=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \cos \left(\frac{2\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}-(X-1)\cdot \frac{2\cdot \pi }{3}\right)$,

где a – коэффициент амплитуды напряжения.

Приращения модулирующих функций фазных напряжений на периоде ШИМ определяются выражением

$\Delta g_X=\frac{\partial g_X}{\partial \tau }=\frac{a\cdot 2\cdot \pi }{\sqrt{3}\cdot f^{*}}\cdot \cos \left(\frac{2\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}-(X-1)\cdot \frac{2\cdot \pi }{3}\right)<\mathrm{0,363}$.

Модулирующие функции линейных напряжений связаны с модулирующими функциями фазных напряжений соотношениями

$\Delta g_{AB}=\Delta g_A-\Delta g_B$; $\Delta g_{BC}=\Delta g_B-\Delta g_C$; $\Delta g_{CA}=\Delta g_C-\Delta g_A$;

$\Delta g_A=\frac{\Delta g_{AB}-\Delta g_{CA}}{3}$; $\Delta g_B=\frac{\Delta g_{BC}-\Delta g_{AB}}{3}$; $\Delta g_C=\frac{\Delta g_{CA}-\Delta g_{BC}}{3}$.

Смещения импульсов относительно центра интервала ШИМ полумостов X = A, B, C на основании работы [7] будем учитывать выражением , которое минимизирует дисперсию тока в нагрузке.

Так как коэффициент смещения импульсов ∆a_X и функция предмодуляции g₀ зависят от относительного времени τ, то локальную дисперсию тока в нагрузке трехфазного моста  следует рассматривать как сложную функцию относительного времени τ.

Интегральную дисперсию тока в трехфазной нагрузке будем рассматривать как функцию от коэффициента амплитуды a, относительной частоты модуляции f ^*, коэффициента смещения импульсов ∆a_X и функции предмодуляции g₀. Определим интегральную дисперсию тока для двух значений параметра сдвига булевой функции β = 0 и β = f ^*/12. В зависимости от вида функции предмодуляции, полученной в работе [14]:

$g_0\left(\beta \right)=\left(\begin{array}{c}1/2-x_0\left(\beta \right)+x_0\left(\beta \right)\cdot \max \{g_A,g_B,g_C\}+\\ +(1-x_0(\beta \left)\right)\cdot \min \{g_A,g_B,g_C\}\end{array}\right)$,

интегральную дисперсию тока можно вычислить по формулам:

$\begin{array}{c}ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})=\frac{6}{f^{*}}\cdot \underset{0}{\overset{f^{*}/6}{\int }}D(g_X,\Delta g_X,\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})\cdot d\tau =\\ =\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{24}\cdot \left(1-\mathrm{1,80}\cdot a+\mathrm{0,85}\cdot a^2+\frac{\mathrm{3,95}-\mathrm{6,73}\cdot a+\mathrm{1,56}\cdot a^2+\mathrm{4,12}\cdot a^3}{f^{*2}}\right)\end{array}$ (2)

$\begin{array}{c}ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})=\frac{6}{f^{*}}\cdot \underset{0}{\overset{f^{*}/6}{\int }}D(g_X,\Delta g_X,\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})\cdot d\tau =\\ =\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{24}\cdot \left(1-\mathrm{1,86}\cdot a+\mathrm{0,91}\cdot a^2+\frac{\mathrm{3,95}-\mathrm{6,35}\cdot a+\mathrm{1,56}\cdot a^2+\mathrm{2,92}\cdot a^3}{f^{*2}}\right)\end{array}$, (3)

где D(g_X, γ₀, ∆g_X, ∆α_X) – локальная дисперсия  токов в нагрузке трехфазного моста; ε = T₀/T – характеристика фильтрующих свойств нагрузки, T – постоянная времени фильтра, T₀ – период модуляции; g₀^HL0 = g₀(0) и g₀^HL1 = g₀(f ^*/12) – функции предмодуляции при значениях параметра сдвига булевой функции β = 0 и β = f ^*/12.

По формулам (2) и (3) определяются дисперсии тока при значениях параметра сдвига булевой функции (1) на границах интервала β ∈ [0, f ^*/12].

Для сравнительной оценки алгоритмов Н-ШИМ сформируем критерий в виде коэффициентов эффективности:

$Z_{HL0}(a,f^{*})=\frac{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{О}})}{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})}$ и $Z_{HL1}(a,f^{*})=\frac{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{О}})}{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})}$,

где ED(a, f ^*, ∆α_X^О, g₀^O) – минимальное значение интегральной дисперсии тока в трехфазной нагрузке при оптимальной функции предмодуляции и коэффициенте смещения импульсов ∆a_X^O = ∆a_X (X = A, B, C).

Выражения для минимального значения дисперсии и функции предмодуляции получены в работах [7, 15] и имеют вид:

$ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{O}})=\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{96}\cdot \left(1-\frac{16\cdot a}{3\cdot \pi }+\frac{7\cdot a^2}{8}+\frac{\mathrm{3,3}-\mathrm{5,3}\cdot a+\mathrm{6,3}\cdot a^2}{f^{*2}}\right)$.

$g_0=\frac{a}{4\cdot \sqrt{3}}\cdot \cos \left(\frac{6\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}\right)$,

где a – коэффициент амплитуды напряжения.

Графики коэффициента эффективности, характеризующие алгоритмы Н-ШИМ при различных значениях параметра сдвига β булевой функции (1) приведены на Рис. 2.

 

Рис. 2. Графики коэффициента эффективности алгоритмов с минимальным числом коммутаций ключей в функции: a) коэффициента амплитуды; b) относительной частоты модуляции

Fig. 2. Graphs of the efficiency coefficient of algorithms with a minimum number of key switches in the function: a) the amplitude coefficient; b) the relative frequency of modulation

 

Из данных графиков следует, что параметр сдвига β булевой функции (1) не значительно влияет на дисперсию токов трехфазной нагрузки. Наименьшее значение дисперсия тока принимает при значении параметра сдвига β = f ^*/12. При малых значениях коэффициента амплитуды эффективность использования алгоритма Н-ШИМ существенно снижается. При стремлении коэффициента амплитуды напряжения к нулю a→0 дисперсия тока алгоритма Н-ШИМ увеличивается в 4 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование в системах частотного управления электроприводами алгоритмов Н-ШИМ объективно приводит к увеличению дисперсии тока в нагрузке, которая является основным критерием качества модуляции. Вместе с тем, минимизация числа коммутаций ключевых элементов, которую обеспечивают алгоритмы Н-ШИМ приводит к снижению динамических потерь энергии в этих элементах и как следствие повышает частоту модуляции и снижают дисперсию тока. Полученная оценка эффективности алгоритмов Н-ШИМ позволяет количественно сравнить между собой алгоритмы Н-ШИМ и П-ШИМ в конкретных системах преобразователь–электродвигатель. Дальнейшим направлением исследований может являться разработка оптимального по критерию эффективности алгоритма трехфазной ШИМ с учетом ограничения на потери мощности в электронных ключах.

Авторы заявляют, что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

The authors state that:

1. They have no conflict of interest;
2. This article does not contain any studies involving human subjects.

About the authors

Alexander V. Saushev

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

Author for correspondence.
Email: saushev@bk.ru
ORCID iD: 0000-0003-2657-9500
SPIN-code: 9692-8603

Doctor of Sciences in Engineering, Head of the Department of Electric Drive and Electrical Equipment Shore Installations

Russian Federation, Saint Petersburg

Igor V. Belousov

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

Email: igor5.spb@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9754-1318
SPIN-code: 9055-5945

Associate Professor, Department of Electric Drive and Electrical Equipment of Coastal Installations

Russian Federation, Saint Petersburg

Veniamin F. Samoseyko

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

Email: samoseyko@mail.ru
SPIN-code: 5813-4505

Professor, Department of Electric Drive and Electrical Equipment of Coastal Installations

Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files