Оценка эффективности неполнофазных алгоритмов широтно-импульсной модуляции в системе преобразователь-электродвигатель

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Системы широтно-импульсной модуляции (ШИМ) находят самое широкое использование при синтезе разнообразных систем управления электроприводами. На транспорте, в настоящее время, основное применение находит асинхронный электропривод, для управления которым, как правило, используются системы частотного скалярного и векторного управления. Одной из важнейших задач ШИМ напряжения, формируемого электронно-ключевым преобразователем в системе преобразователь–электродвигатель, является снижение пульсаций тока на периоде модуляции [1–6]. При этом мера расхождения между желаемым напряжением и его импульсной аппроксимацией является важнейшей характеристикой качества модуляции. Чем меньше это расхождение, тем выше качество модуляции. Показатели качества ШИМ существенно зависят от частоты следования импульсов. При этом, с одной стороны, увеличение частоты модуляции позволяет более точно формировать напряжение на выходе преобразователя частоты, приблизив его к синусоидальной функции, а, с другой стороны, ведет к возрастанию динамических потерь в электронных ключах этого преобразователя, который является важнейшим силовым элементом электропривода. Таким образом, повышение качества модуляции лишь за счет повышения частоты модуляции не дает желаемого эффекта и приводит к дополнительным потерям.

В работе [7] установлено, что основным критерием, определяющим качество модуляции, по которому следует сравнивать алгоритмы ШИМ, является дисперсия тока в нагрузке. При этом важнейшим показателем качества ШИМ является также число коммутаций ключей преобразователя частоты. Это обусловлено тем, что уменьшение числа коммутаций ключей на периоде модулирующей функции ведет к снижению динамических потерь энергии в электронных ключах. В работах [3–6, 8–13] показано, что для минимизации числа коммутаций ключей преобразователя частоты целесообразно применение неполнофазных алгоритмов ШИМ (Н-ШИМ). Возможные алгоритмы Н-ШИМ достаточно подробно рассмотрены в работе [14].

Очевидно, что реализация любого алгоритма Н-ШИМ приведет к увеличению дисперсии тока, которая, как отмечалось, является критерием качества модуляции. Однако, минимизация числа коммутаций, которая имеет место в Н-ШИМ ведет к снижению динамических потерь энергии в ключах, что позволит увеличить частоту модуляции и уменьшить дисперсию тока.

Целью статьи является оценка алгоритмов модуляции Н-ШИМ трехфазного напряжения по величине дисперсии тока при заданных потерях энергии в ключевых элементах. Для решения указанной задачи необходимо найти интегральную дисперсию тока, порождаемую алгоритмы Н-ШИМ и сравнить ее с интегральной дисперсией тока, которая имеет место при полнофазной ШИМ (П-ШИМ).

ЛОКАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ТОКА В АЛГОРИТМАХ НЕПОЛНОФАЗНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ШИМ

Известно, что широтно-импульсная модуляция трехфазного напряжения реализуется на трех электронно-ключевых полумостах преобразователя частоты (Рис. 1).

 

Рис. 1. Иллюстрация широтно-импульсной модуляции напряжения

Fig. 1. Illustration of pulse-width voltage modulation

 

Полумосты трехфазного электронно-ключевого моста далее обозначаются A, B, C. Управление полумостами осуществляется так, что включен либо верхний, либо нижний ключ. Следовательно, для описания управления полумостами X = A, B, C достаточно задать, коммутационные импульсные функции верхних ключей.

Предполагается, что заданы модулирующие функции фазных напряжений g_A = u_A /U_d ; g_B = u_B /U_d ; g_C = u_C /U_d , где u_A, u_B, u_C – фазные напряжения на нагрузке; U_d – напряжение источника питания, которые удовлетворяют соотношению .

Модулирующие функции линейных напряжений g_AB = u_AB /U_d ; g_BC = u_BC /U_d ; g_CA = u_CA /U_d связаны с модулирующими функциями фазных напряжений и модулирующими функциями потенциалов полумостов известными соотношениями [14]:

$g_{AB}=g_A-g_B={\gamma }_A-{\gamma }_B; g_{BC}=g_B-g_C={\gamma }_B-{\gamma }_C{g}_{CA}=g_C-g_A={\gamma }_C-{\gamma }_A$,

где γ_X – скважность импульса в полумосте X = A, B, C.

В работе [15] показано, что если заданы модулирующие функции фазных напряжений g_A(τ), g_B(τ), g_C(τ), то булева переменная x₀, определяющая чередование включенного состояния верхних и нижних ключей мостовой схемы (Рис. 1) будет иметь вид:

$x_0\left(\beta \right)=1(-g_A(\tau -\beta )\cdot g_B(\tau -\beta )\cdot g_C(\tau -\beta \left)\right)$, (1)

где τ – относительное время; β ∈ [–f ^*/12, f ^*/12] – параметр сдвига булевой функции; f ^* – относительная частота модуляции.

В алгоритме Н-ШИМ в двух фазах нагрузки выполняется однофазная модуляция напряжения, а в третьей фазе – двухфазная. Для определения дисперсии тока в нагрузке достаточно рассмотреть ситуацию, когда модулирующие функции фазных напряжений удовлетворяют неравенствам g_A ≥ g_B ≥ g_C. Будем полагать, что включен нижний ключ полумоста С и потенциал узла С равен нулю. Тогда между узлами A–С и B–C трехфазной мостовой цепи (Рис. 1) будет однофазная модуляция, между узлами A–B – двухфазная.

Локальная дисперсия тока при однофазной модуляции, как показано в работе [7] определяется выражением

$\begin{array}{c}{D}_X=D({\gamma }_X,\Delta {\gamma }_X,\Delta {\alpha }_X)={\epsilon }^2\cdot \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{D({\gamma }_X,{\alpha }_X,\Delta {\gamma }_X,\epsilon )}{{\epsilon }^2}=\\ =\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{{\gamma }_X}^2{\left(1-{\gamma }_X\right)}^2\cdot +12\cdot {{\gamma }_X}^2\cdot \Delta {{\alpha }_X}^2-\\ -{\gamma }_X\cdot \Delta {\alpha }_X\cdot \Delta {\gamma }_X\cdot \left(3-{{\gamma }_X}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_X\right)+\Delta {{\gamma }_X}^2/10\end{array}\right)\end{array}$,

где $\Delta {\alpha }_X={\alpha }_X-(1-{\gamma }_X)/2$ – коэффициент смещения импульса относительно середины интервала ШИМ; γ_X – моделирующая функция потенциала полумоста (потенциал узла X); ∆γ_X – приращение моделирующей функции полумоста на интервале модуляции.

Используя это выражение, запишем локальную дисперсию тока  при однофазной модуляции между узлами A–С и дисперсию  между узлами B–C трехфазной мостовой цепи (Рис. 1) в следующем виде:

$D_{AC}=\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{g_{AC}}^2\cdot {\left(1-g_{AC}\right)}^2\cdot +12\cdot {g_{AC}}^2\cdot \Delta {{\alpha }_{AC}}^2-\\ -g_{AC}\cdot \Delta {\alpha }_{AC}\cdot \Delta g_{AC}\cdot \left(3-{g_{AC}}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_A\right)+\Delta {g_{AC}}^2/10\end{array}\right)$,

$D_{BC}=\frac{{\epsilon }^2}{12}\cdot \left(\begin{array}{c}{g_{BC}}^2{\left(1-g_{BC}\right)}^2\cdot +12\cdot {g_{BC}}^2\cdot \Delta {{\alpha }_{BC}}^2-\\ -g_{BC}\cdot \Delta {\alpha }_{BC}\cdot \Delta g_{BC}\cdot \left(3-{g_{BC}}^2-4\cdot \Delta {\alpha }_{BC}\right)+\Delta {g_{BC}}^2/10\end{array}\right)$,

где g_AC = g_A – g_C ; ∆g_AC = ∆g_A – ∆g_C ; ∆α_AС = ∆α_A – ∆α_С = 11/96⋅∆g_AС ; g_BC = g_B – g_C ; ∆g_BC = ∆g_B – ∆g_C ; ∆α_BС = ∆α_B – ∆α_C = 11/96⋅∆g_BC .

Локальная дисперсия межфазного тока i_AB при двухфазной модуляции на основании работы [7] определяется выражением

$D_{XY}(g_{XY},g_0)={\epsilon }^2\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{{(1-g_{XY})}^2\cdot {g_{XY}}^2}{48}+\frac{\Delta {{\alpha }_{XY}}^2\cdot \left(1+{(1-g_{XY})}^2\right)}{4}-\\ -\frac{\Delta {\alpha }_{XY}\cdot \Delta g_{XY}\cdot (11-3\cdot {g_{XY}}^2)}{96}+\frac{{g_0}^2\cdot {g_{XY}}^2}{4}+\frac{\Delta {g_{XY}}^2}{120}\end{array}\right)$

Используя это выражение, получим локальную дисперсию тока  между узлами A–B трехфазной мостовой цепи (Рис. 1):

$D_{AB}={\epsilon }^2\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{{(1-g_{AB})}^2\cdot {g_{AB}}^2}{48}+\frac{{g_0}^2\cdot {g_{AB}}^2}{4}+\frac{\Delta {{\alpha }_{AB}}^2\cdot \left(1+{(1-g_{AB})}^2\right)}{4}-\\ -\frac{\Delta {\alpha }_{AB}\cdot \Delta g_{AB}\cdot (11-3\cdot {g_{AB}}^2)}{96}+\frac{\Delta {g_{AB}}^2}{120}\end{array}\right)$,

где g_AB = g_A – g_B ; ∆g_AB = ∆g_A – ∆g_B ; ∆α_AB = ∆α_A – ∆α_B = 11/96⋅∆g_AB.

Так как линейные и фазные переменные этих дисперсий связаны между собой известными соотношениями, то сами дисперсии можно рассматривать как функции фазных переменных. Локальную дисперсию тока в нагрузке трехфазного моста можно найти как среднее значение дисперсий токов между полумостами X = A, B, C:

$D_{ABC}=D(g_X,\Delta g_X,\Delta {\alpha }_X,g_0)=\frac{D_{AB}+D_{BC}+D_{AC}}{3}$.

Локальная дисперсия токов в нагрузке трехфазного моста будет знакоположительной пульсирующей функцией с периодом пульсаций f ^*/6, где f ^* – относительная частота модуляции.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ ТОКА

Поскольку наиболее востребованными являются алгоритмы с синусоидальными модулирующими функциями напряжений, то интегральную дисперсию тока будем находить при синусоидальных модулирующих функциях фазных напряжений X = 1, 2, 3 [7, 15]

$g_X=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \cos \left(\frac{2\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}-(X-1)\cdot \frac{2\cdot \pi }{3}\right)$,

где a – коэффициент амплитуды напряжения.

Приращения модулирующих функций фазных напряжений на периоде ШИМ определяются выражением

$\Delta g_X=\frac{\partial g_X}{\partial \tau }=\frac{a\cdot 2\cdot \pi }{\sqrt{3}\cdot f^{*}}\cdot \cos \left(\frac{2\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}-(X-1)\cdot \frac{2\cdot \pi }{3}\right)<\mathrm{0,363}$.

Модулирующие функции линейных напряжений связаны с модулирующими функциями фазных напряжений соотношениями

$\Delta g_{AB}=\Delta g_A-\Delta g_B$; $\Delta g_{BC}=\Delta g_B-\Delta g_C$; $\Delta g_{CA}=\Delta g_C-\Delta g_A$;

$\Delta g_A=\frac{\Delta g_{AB}-\Delta g_{CA}}{3}$; $\Delta g_B=\frac{\Delta g_{BC}-\Delta g_{AB}}{3}$; $\Delta g_C=\frac{\Delta g_{CA}-\Delta g_{BC}}{3}$.

Смещения импульсов относительно центра интервала ШИМ полумостов X = A, B, C на основании работы [7] будем учитывать выражением , которое минимизирует дисперсию тока в нагрузке.

Так как коэффициент смещения импульсов ∆a_X и функция предмодуляции g₀ зависят от относительного времени τ, то локальную дисперсию тока в нагрузке трехфазного моста  следует рассматривать как сложную функцию относительного времени τ.

Интегральную дисперсию тока в трехфазной нагрузке будем рассматривать как функцию от коэффициента амплитуды a, относительной частоты модуляции f ^*, коэффициента смещения импульсов ∆a_X и функции предмодуляции g₀. Определим интегральную дисперсию тока для двух значений параметра сдвига булевой функции β = 0 и β = f ^*/12. В зависимости от вида функции предмодуляции, полученной в работе [14]:

$g_0\left(\beta \right)=\left(\begin{array}{c}1/2-x_0\left(\beta \right)+x_0\left(\beta \right)\cdot \max \{g_A,g_B,g_C\}+\\ +(1-x_0(\beta \left)\right)\cdot \min \{g_A,g_B,g_C\}\end{array}\right)$,

интегральную дисперсию тока можно вычислить по формулам:

$\begin{array}{c}ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})=\frac{6}{f^{*}}\cdot \underset{0}{\overset{f^{*}/6}{\int }}D(g_X,\Delta g_X,\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})\cdot d\tau =\\ =\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{24}\cdot \left(1-\mathrm{1,80}\cdot a+\mathrm{0,85}\cdot a^2+\frac{\mathrm{3,95}-\mathrm{6,73}\cdot a+\mathrm{1,56}\cdot a^2+\mathrm{4,12}\cdot a^3}{f^{*2}}\right)\end{array}$ (2)

$\begin{array}{c}ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})=\frac{6}{f^{*}}\cdot \underset{0}{\overset{f^{*}/6}{\int }}D(g_X,\Delta g_X,\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})\cdot d\tau =\\ =\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{24}\cdot \left(1-\mathrm{1,86}\cdot a+\mathrm{0,91}\cdot a^2+\frac{\mathrm{3,95}-\mathrm{6,35}\cdot a+\mathrm{1,56}\cdot a^2+\mathrm{2,92}\cdot a^3}{f^{*2}}\right)\end{array}$, (3)

где D(g_X, γ₀, ∆g_X, ∆α_X) – локальная дисперсия  токов в нагрузке трехфазного моста; ε = T₀/T – характеристика фильтрующих свойств нагрузки, T – постоянная времени фильтра, T₀ – период модуляции; g₀^HL0 = g₀(0) и g₀^HL1 = g₀(f ^*/12) – функции предмодуляции при значениях параметра сдвига булевой функции β = 0 и β = f ^*/12.

По формулам (2) и (3) определяются дисперсии тока при значениях параметра сдвига булевой функции (1) на границах интервала β ∈ [0, f ^*/12].

Для сравнительной оценки алгоритмов Н-ШИМ сформируем критерий в виде коэффициентов эффективности:

$Z_{HL0}(a,f^{*})=\frac{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{О}})}{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL0})}$ и $Z_{HL1}(a,f^{*})=\frac{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{О}})}{ED(a,f^{*},\Delta {a_X}^{\text{O}},{g_0}^{HL1})}$,

где ED(a, f ^*, ∆α_X^О, g₀^O) – минимальное значение интегральной дисперсии тока в трехфазной нагрузке при оптимальной функции предмодуляции и коэффициенте смещения импульсов ∆a_X^O = ∆a_X (X = A, B, C).

Выражения для минимального значения дисперсии и функции предмодуляции получены в работах [7, 15] и имеют вид:

$ED(a,f^{*},\Delta {{\alpha }_X}^{\text{O}},{g_0}^{\text{O}})=\frac{{\epsilon }^2\cdot a^2}{96}\cdot \left(1-\frac{16\cdot a}{3\cdot \pi }+\frac{7\cdot a^2}{8}+\frac{\mathrm{3,3}-\mathrm{5,3}\cdot a+\mathrm{6,3}\cdot a^2}{f^{*2}}\right)$.

$g_0=\frac{a}{4\cdot \sqrt{3}}\cdot \cos \left(\frac{6\cdot \pi \cdot \tau }{f^{*}}\right)$,

где a – коэффициент амплитуды напряжения.

Графики коэффициента эффективности, характеризующие алгоритмы Н-ШИМ при различных значениях параметра сдвига β булевой функции (1) приведены на Рис. 2.

 

Рис. 2. Графики коэффициента эффективности алгоритмов с минимальным числом коммутаций ключей в функции: a) коэффициента амплитуды; b) относительной частоты модуляции

Fig. 2. Graphs of the efficiency coefficient of algorithms with a minimum number of key switches in the function: a) the amplitude coefficient; b) the relative frequency of modulation

 

Из данных графиков следует, что параметр сдвига β булевой функции (1) не значительно влияет на дисперсию токов трехфазной нагрузки. Наименьшее значение дисперсия тока принимает при значении параметра сдвига β = f ^*/12. При малых значениях коэффициента амплитуды эффективность использования алгоритма Н-ШИМ существенно снижается. При стремлении коэффициента амплитуды напряжения к нулю a→0 дисперсия тока алгоритма Н-ШИМ увеличивается в 4 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование в системах частотного управления электроприводами алгоритмов Н-ШИМ объективно приводит к увеличению дисперсии тока в нагрузке, которая является основным критерием качества модуляции. Вместе с тем, минимизация числа коммутаций ключевых элементов, которую обеспечивают алгоритмы Н-ШИМ приводит к снижению динамических потерь энергии в этих элементах и как следствие повышает частоту модуляции и снижают дисперсию тока. Полученная оценка эффективности алгоритмов Н-ШИМ позволяет количественно сравнить между собой алгоритмы Н-ШИМ и П-ШИМ в конкретных системах преобразователь–электродвигатель. Дальнейшим направлением исследований может являться разработка оптимального по критерию эффективности алгоритма трехфазной ШИМ с учетом ограничения на потери мощности в электронных ключах.

Авторы заявляют, что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

The authors state that:

1. They have no conflict of interest;
2. This article does not contain any studies involving human subjects.

Об авторах

Александр Васильевич Саушев

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова

Автор, ответственный за переписку.
Email: saushev@bk.ru
ORCID iD: 0000-0003-2657-9500
SPIN-код: 9692-8603

доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Электропривод и электрооборудования береговых установок»

Россия, Санкт-Петербург

Игорь Владимирович Белоусов

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова

Email: igor5.spb@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9754-1318
SPIN-код: 9055-5945

доцент кафедры «Электропривод и электрооборудования береговых установок»

Россия, Санкт-Петербург

Вениамин Францевич Самосейко

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова

Email: samoseyko@mail.ru
SPIN-код: 5813-4505

профессор кафедры «Электропривод и электрооборудования береговых установок»

Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы