Automated algorithm for drawing up a milling cartogram

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В период содержания автомобильной дороги и проведения текущих ремонтов крайне распространенной задачей является выравнивание покрытия в продольном и поперечном направлениях. Одной из основных дорожно-строительных машин, позволяющих производить выравнивание покрытия при проведении работ по ремонту улично-дорожной сети (УДС) и автомобильных дорог, является дорожная фреза. В качестве технического задания оператору машины выдается картограмма с указанными на ней глубиной зарезания и направлением и величиной уклона фрезерного барабана в контрольных точках [1]. Для составления картограммы требуется изначально наметить траекторию движения копирной лыжи машины и расположить на ней точки, которые должны обладать тремя характеристиками – глубиной зарезания, величиной поперечного уклона и его направлением. Данные линии называются базовыми линиями (БЛ) – относительно них идет ориентация рабочего органа машины в пространстве и, при производстве работ, может определяться погрешность дорожной фрезы, что позволяет вносить своевременные корректировки в задаваемые параметры процесса (глубина зарезания, поперечный уклон).

Согласно законодательству города Санкт-Петербург в области дорожного строительства при выполнении работ по текущему ремонту УДС наличие проекта вертикальной планировки территории не является обязательным [2]. Подрядчику передается плановое положение элементов УДС, используемое для составления ведомости объемов работ. Вертикальную разбивку в таких случаях подрядные организации производят собственными силами. В силу ограниченности времени, выделяемого на выполнение работ, зачастую составление картограммы фрезерования приходится производить непосредственно во время проведения работ, что снижает производительность звена машин – возникают простои на время проведения разбивки и разработки картограммы.

Цель работы – составление алгоритма расчета картограммы фрезерования с учетом ограничений, обоснованных технологическими характеристиками процесса и нормами строительства. Появление автоматизированного алгоритма поможет сократить продолжительность проведения подготовительных работ при частичной разборке покрытия.

Оптимизационные модели, использование которых возможно для составления алгоритма, можно разделить на несколько категорий в зависимости от метода поиска решения. Сравнение методов приведено в Табл. 1.

 

Таблица 1. Сравнение методов оптимизации

Метод	Характеристики метода
	Преимущества	Недостатки
Линейное программирование [3-5]	1.               Однозначное определение глобального оптимума	1.               Невозможность решения нелинейных задач
Обобщенный приведенный градиент (ОПГ) [6–8]	1.               Возможность решения нелинейных задач 2.               Высокая эффективность вычислений при сильно выпуклой функции	1.               Склонность к определению локального оптимума
Эволюционный метод [9, 10]	1.               Возможность решения задач широкого спектра; 2.               Высокая сходимость метода	1.               Зависимость результата от настроечных параметров, подбираемых опытным путем 2.               Высокая загрузка вычислительных мощностей

 

Выбор программного комплекса для расчетов зависит от используемой модели оптимизации и ее сложности. Сравнительный анализ наиболее распространенных программ представлен в Табл. 2 [11–14].

 

Таблица 2. Сравнительный анализ программ

Параметр		Значение параметра для программы
		MS Excel 2019; “Поиск решения”	Mathcad 15	Matlab R2014; “Optimization toolbox”
Максимальное количество структурных элементов модели	неизвестные переменные	200	∞	∞
	прямые ограничения	400	∞	∞
	непрямые ограничения	100	∞	∞
Используемые алгоритмы реализации моделей	линейные модели	1.       Симплекс-метод; 2.       Метод ветвей и границ;	1.       Симплекс-метод	1.       Симплекс-метод; 2.       Метод ветвей и границ
	нелинейные модели	1.       ОПГ; 2.       Эволюционный метод	1.       ОПГ; 2.       Алгоритм Левенберга-Маркуарда; 3.       Квази-метод Ньютона	1.       ОПГ; 2.       Последова-тельное квадратичное программиро-вание; 3.       Метод внутренней точки

 

Разработка расчетного комплекса производится в программе MS Excel. Данная программа имеет достаточный функционал для решения нелинейных оптимизационных моделей, а также поддерживает установку на смартфон, что повышает доступность расчетного комплекса для инженерно-технических работников, находящихся непосредственно на производственной линии. Расчетный алгоритм должен обеспечивать условия водоотвода и соблюдение требований к проектированию УДС, минимизируя отклонение глубин зарезания рабочего органа в контрольных точках от целевого значения.

ДАННЫЕ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

В первую очередь, для формирования системы ограничений, производится сбор данных для проектирования и анализ технологии работ.

Показатели допустимых поперечных и продольных уклонов устанавливаются СП 396.1325800.2018 [14]. Минимальный поперечный уклон – 5 ‰, максимальный – 30 ‰ (в сложных градостроительных условиях и при проведении работ по реконструкции).

Помимо нормативных ограничений присутствуют технологические – движение машины в процессе фрезерования прямолинейное. БЛ должны быть взаимно параллельны, так как поперечный уклон формируется перпендикулярно по отношению к направлению движения машины.

В местах примыкания к существующему покрытия или бортовому камню глубина зарезания должна соответствовать проектной толщине покрытия.

Результат фрезерования в общем случае – плоскость, параллельная плоскости проектируемого покрытия и лежащая ниже на толщину проектного слоя. Задача сводится к проектированию плоскости с соблюдением вводимых ограничений. Результат расчета алгоритма – поверхность в виде набора точек, представленная на Рис. 1, с постоянными (заранее известными) координатами X и Y (плановое положение) и переменной координатой Z (высотой). Координата Z – неизвестная переменная.

 

Рис. 1. Плановое изображение поверхности и ее табличная интерпретация

 

Исходными данными для алгоритма является съемка существующей поверхности (фактические высотные отметки точек съемки $a_{ij}$ – ; плановое положение точек съемки - $X_J$ и $Y_i$).

Оценка оптимальности проектной поверхности осуществляется с помощью показателя глубины зарезания рабочего органа машины относительно существующей поверхности. Для точки находится как:

$h_{iJ}=a_{iJ}-(x_{iJ}-\delta )$ (1)

где $x_{iJ}$ – проектная высотная отметка точки, м;

$\delta$ – толщина устраиваемого слоя асфальтобетонного покрытия согласно проекту, см.

Определим условия, соблюдение которых необходимо для выполнения ограничений глубины реза в местах примыкания к бортовому камню:

$a_{i1}=x_{i1}; i=1,2,\dots ,n-1$ (2)

$a_{iJ}=x_{iJ}; i=n; J=2,3,\dots ,m$ (3)

Для обеспечения соответствия проектных уклонов нормативным требованиям составлены следующие неравенства:

$max\left\{\frac{x_{iJ}-x_{i-1,J}}{|Y_i-Y_{i-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i+1,J}}{|Y_i-Y_{i+1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J-1}}{|X_J-X_{J-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J+1}}{|X_J-X_{J+1}|}\right\}\ge I^{min}$ (4)

где $x_{i-1,J}; x_{i+1,J}; x_{i,J-1}; x_{i,J+1}$ – проектная высотная отметка точек, соседних для точки $x_{iJ}$, м;

$Y_i; Y_{i-1}; Y_{i+1}$ – координата по оси Y для соответствующих БЛ, м;

$X_J; X_{J-1}; X_{J+1}$ – координата по оси X для соответствующих поперечных профилей, м;

$I^{min}$ – минимально допустимый уклон в любой точке покрытия, %.

$max\left\{\frac{x_{iJ}-x_{i-1,J}}{|Y_i-Y_{i-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i+1,J}}{|Y_i-Y_{i+1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J-1}}{|X_J-X_{J-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J+1}}{|X_J-X_{J+1}|}\right\}\le I^{max}$ (5)

где $I^{max}$ – максимально допустимый уклон в любой точке покрытия, %.

Схема, поясняющая выражения (4) и (5), указана на Рис. 2.

 

Рис. 2. Схема к определению уклона

 

После формирования ограничений определяется выражение, описывающее целевую функцию. Так как объект моделирования – площадной, то глубину зарезания стоит рассматривать как средневзвешенную по окрестным для точек площадям (Рис. 3).

 

Рис. 3. Схема к определению площади, окрестной для точки

 

Вес каждой из точек рассчитывается исходя из ее окрестной площади [15]:

${\sigma }_{iJ}=\frac{s_{iJ}}{S_{общ}}$ (6)

где $s_{iJ}$ – площадь, окрестная для точки съемки $a_{iJ}$, м²;

$S_{общ}$ – площадь всей площадки, м².

$s_{iJ}=0,25·(X_{J+1}-X_{J-1})·(Y_{i+1}-Y_{i-1})$ (7)

где $X_{J+1}; X_{J-1}$ – координата по оси X для соответствующих поперечных профилей, м;

$Y_{i+1}; Y_{i-1}$ – координата по оси Y для соответствующих БЛ, м.

$S_{общ}=\sum _{i=1}^n\sum _{J=1}^m{S}_{iJ}$ (8)

Критерий оптимальности отображает отклонение фактической глубины зарезания от предпочтительной:

$\sum _{i=1}^n\sum _{J=1}^m{\sigma }_{iJ}·(h_{iJ}-\lambda {)}^2\to min$ (9)

где λ – предпочтительная глубина зарезания, задаваемая пользователем, см.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

В Табл. 3 приводятся элементы математической модели.

 

Таблица 3. Элементы математической модели

№ п/п	Наименование элемента исходных данных / неизвестной переменной	Ед. изм	Обозначение
1	Общие исходные данные – характеристики структуры объекта
1.1	Количество поперечных профилей	ед.	m
1.2	Количество БЛ	ед.	n
1.3	Индекс поперечных профилей	-	J
1.4	Индекс БЛ	-	i
2	Исходные данные – характеристики проектируемой поверхности
2.1	Фактическая высотная отметка точки, лежащей на БЛ i в рамках поперечного профиля J, $i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$	м	$a_{iJ}$
2.2	Координаты поперечного профиля J, $J=1,2,\dots ,m$	м	$X_J$
2.3	Координаты БЛ i, $i=1,2,\dots ,n$	м	$Y_i$
2.4	Проектная толщина слоя покрытия	см	$\delta$
2.5	Минимальный нормативный уклон	%	$I^{min}$
2.6	Максимальный нормативный уклон	%	$I^{max}$
2.7	Предпочтительная глубина зарезания	см	$\lambda$
3	Неизвестные переменные
3.1	Проектная высотная отметка точки, лежащей на БЛ i в рамках поперечного профиля J, $i=1,2,\dots ,n;J=1,2,\dots ,m$	м	$x_{iJ}$
4	Расчетные характеристики
4.1	Максимальный уклон ребер поверхности, лежащих между точкой $a_{iJ}$ и соседними для нее точками, $i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$	%	$max{I}_{iJ}$
4.2	Площадь, окрестная для точки $a_{iJ}$, $i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$	м2	$s_{iJ}$
4.3	Общая площадь площадки	м2	$S_{общ}$
4.4	Вес точки $a_{iJ}$, $i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$	-	${\sigma }_{iJ}$
5.5	Глубина зарезания в точке $a_{iJ}$, $i=1,2,\dots ,n;$ $J=1,2,\dots ,m$	см	$h_{iJ}$
5	Критерий оптимальности
5.1	Суммарное отклонение расчетной глубины зарезания от предпочтительной	см2	$\sum _{i=1}^n\sum _{J=1}^m{\sigma }_{iJ}·(h_{iJ}-\lambda {)}^2$

 

На основании Табл. 3 составлена система выражений, являющаяся оптимизационной моделью.

$\sum _{i=1}^n\sum _{J=1}^m{\sigma }_{iJ}·(h_{iJ}-\lambda {)}^2\to min, i=1,2,\dots ,n;J=1,2,\dots ,m$ (9)

$h_{iJ}=a_{iJ}-(x_{iJ}-\delta ), i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$ (1)

$x_{i1}=a_{i1}; i=1,2,\dots ,n-1$ (2)

$x_{iJ}=a_{iJ}; i=n; J=2,3,\dots ,m$ (3)

$max{I}_{iJ}\ge I^{min}, i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$ (10)

$max{I}_{iJ}\le I^{max}, i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$ (11)

$max{I}_{iJ}=max\left\{\frac{x_{iJ}-x_{i-1,J}}{|Y_i-Y_{i-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i+1,J}}{|Y_i-Y_{i+1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J-1}}{|X_J-X_{J-1}|}; \frac{x_{iJ}-x_{i,J+1}}{|X_J-X_{J+1}|}\right\}$ (12)

$i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$

$x_{iJ}\ge 0, i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$ (13)

${\sigma }_{iJ}=\frac{0,25·(X_{J+1}-X_{J-1})·(Y_{i+1}-Y_{i-1})}{\sum _{i=1}^n\sum _{J=1}^m 0,25·(X_{J+1}-X_{J-1})·\left(Y_{i+1}\right)-Y_{i-1})},$

$i=1,2,\dots ,n; J=1,2,\dots ,m$ (14)

Критерий оптимальности и расчетные характеристики раскрыты через исходные данные и неизвестные переменные [16].

Сформированная модель нелинейная – целевая функция и ограничения (10) и (11) нелинейные. Переход к линейному виду невозможен. Применение симплекс-метода не даст решения.

Использование метода ОПГ в общем случае чревато попаданием в локальный оптимум. С учетом сложности ограничений (10) и (11) метод необходимо до начала расчетов вносить предварительные высотные отметки в поле вывода результата. Так как технология фрезерования не предполагает сильного отличия формируемой поверхности от фактической, то в качестве предварительных высотных отметок может быть использована съемка фактической поверхности.

Использование эволюционного метода требует ввода дополнительных исходных данных, сильно влияющих на результат вычислений. Подбор этих данных производится опытным путем, что повышает трудоемкость решения.

С учетом всех факторов выбранный метод решения модели – ОПГ.

РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ В MS EXCEL

Для проверки адекватности модели использована картограмма площадки, расположенной на объекте текущего ремонта УДС по адресу пересечение улиц Литовской и Грибалевой. Нивелирная съемка и прочие исходные данные указаны на Рис. 4.

 

Рис. 4. Исходные данные.

 

Результат расчета алгоритма приведен на Рис. 5 и 6.

 

Рис. 5. Проектная поверхность и значения глубин зарезания

 

Рис. 6. Проектная поверхность с обозначением величины уклонов и их направлением

 

Из Рис. 6 видно, что БЛ, формируемые алгоритмом, не всегда являются плавными. Но, в то же время, сгладить БЛ методами, предложенными в [4–6], не представляется возможным, так как в указанных работах один числовой ряд, а в данной статье обработке должны подвергаться несколько взаимосвязанных рядов. Для подбора оптимального коэффициента сглаживания каждой БЛ в отдельности и их соотношения между собой необходимо затратить большое количество времени. В этой работе сглаживание полученных результатов предлагается проводить вручную после завершения работы алгоритма.

На Рис. 7 представлен график сопоставления результатов, полученных в ходе расчета, обработанных вручную после расчета и полученных полностью ручным способом.

 

Рис. 7. Графики сопоставления продольных профилей по БЛ №1-№3, полученных различными способами

 

На Рис. 8 представлены графики, отображающие частоту появления отклонений глубин зарезания от диапазона 0–4 см (4 см – толщина устраиваемого покрытия по проекту; выход глубины зарезания из данного диапазона ведет к перерасходу асфальтобетонной смеси).

 

Рис. 8. Частота отклонений глубины реза от диапазона [0–4] см в зависимости от способа составления картограммы

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в статье модель составления картограммы фрезерования работает в полуавтоматическом режиме: первоначальный результат расчетов стоит обрабатывать для получения более гладкой плоскости. Однако даже с учетом этого алгоритм ускоряет рабочий процесс – составление картограммы в полностью ручном режиме заняло 31 минуту, ввод данных в программу с последующей ручной корректировкой результата занял 12 минут. Объем сокращения рабочего времени в данном случае составил 61,3 %.

Из Рис. 7 видно, что после обработки результатов расчета, полученные продольные профили находятся в промежуточном положении между результатами расчета алгоритма и ручного расчета. Следовательно, результат работы алгоритма стоит воспринимать как наиболее выгодный с точки зрения глубин зарезания вариант картограммы, однако неровный и требующий дальнейшей обработки (Рис. 6, 7). Обработанные результаты расчета кардинальным образом не отличаются от предложенных алгоритмом, а значит, на этап обработки не требуется отводить значительное количество времени. Полностью ручной расчет требует от лица, решающего задачу, самостоятельно определить наиболее предпочтительные способы водоотвода и места расположения переломов профиля (линии лотков и водоразделов).

Из Рис. 8 следует, что при ручном расчете суммарное отклонение глубины зарезания наибольшее – 36 см. Суммарное отклонение при обработке результатов алгоритма составляет 30 см, что близко к среднеарифметическому значению результатов полностью ручного расчета и полностью автоматизированного (30,4 см), и на 16,7 % меньше, чем при ручном расчете. При ручном способе расчета отклонения распределяются наиболее равномерно, при автоматическом способе – наименее, т.к. алгоритм позволяет отклонение от диапазона только в местах, где это необходимо для соблюдения условий водоотвода.

Таким образом, полуавтоматическое построение картограммы с использованием приведенной модели представляет собой компромиссное решение, сочетающее в себе одновременно гладкость поверхности и минимизацию отклонений глубины реза от целевого диапазона и при этом экономящее время, необходимое для проведения подготовительных работ.

Авторы заявляют что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

About the authors

Nikita A. Fedoseev

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: fedoseev.na@edu.spbstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-6104-9674
SPIN-code: 6857-7057

master’s degree student

Russian Federation, St. Petersburg

Vera A. Svalbova

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Email: svalbova.va@edu.spbstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-3726-9359
SPIN-code: 7383-9132

master’s degree student

Russian Federation, St. Petersburg

Sergey V. Alekseev

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Email: sergeyaleks1966@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8632-3852
SPIN-code: 6013-0312

candidate of military sciences, associate professor

Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files