Integrative model of a magnetically levitated train's traction force

Full Text

Введение

Во многих случаях для целей тяги магнитолевитирующих поездов (МЛП) целесообразно использовать линейные синхронные двигатели (ЛСД) [3, 12, 13, 14, 16]. Процессы, протекающие в их различных элементах, взаимосвязаны и являются частями единого суперпроцесса электромагнитно-механического энергопреобразования. Существенная сложность таких процессов побуждает исследователей к поиску путей сепаратного изучения их отдельных компонентов, ключевым из которых является электромагнитный. Его составляющие порознь с успехом могут изучаться [4, 15, 17] в рамках теорий электрических цепей, либо электромагнитного поля. Поэтому, различные версии математической модели (ММ) тяговой силы (ТС) МЛП строились [8, 9, 19] исходя из указанных автономных парадигм её моделирования.

Анализ свойств имеющихся версий ММ ТС МЛП свидетельствует о том, что каждая из них обладает как преимуществами, так и недостатками. Версии модели, исходящие из теории электрических цепей, достаточно функциональны. Но основным недостатком их уравнений является нестационарность коэффициентов, вызываемая переменностью значений взаимных индуктивностей контуров фаз якоря, как между собой, так и с контурами возбуждения, при изменении положения моутера (подвижных частей ЛСД). Это снижает ценность версий, поскольку затрудняет моделирование [11]. Версии же модели, базирующиеся на теории поля, менее ресурсоёмки, однако и менее практичны – вследствие ограниченности их общности, вызываемой недостаточной адекватностью предпосылок построения этих версий.

Задача исследования

Изложенное свидетельствует об актуальности создания ММ ТС МЛП, ассимилирующей достоинства имеющихся версий такой модели, но свободной от их недостатков [5, 11, 18, 20]. Синтез такой модели является основной задачей настоящей работы.

Методика исследования

ТС ЛСД является результатом взаимодействия, неподвижных друг относительно друга, магнитных полей токов его индуктора и якоря. Поэтому, при построении искомой ММ ТС, в качестве её паттерна должен быть принят элементарный акт такого взаимодействия, который может быть описан выражением закона Ампера [1]:

$f_{\lambda \chi }=l_{\lambda \chi }\cdot i^{\lambda }\cdot {{\rm B}}_{\lambda \chi }\cdot \mathrm{Sin}{\alpha }_{\lambda \chi }$, (1)

где $f_{\lambda \chi }$ – сила взаимодействия полей, создаваемых токами, текущими в цепях -го прямолинейного элемента $\lambda$-го контура индуктора двигателя и его якоря;

$l_{\lambda \chi }$, $i^{\lambda }$, ${{\rm B}}_{\lambda \chi }$, ${\alpha }_{\lambda \chi }$  – длина упомянутого элемента, ток в нём, индукция (условно однородного – в пределах элемента) магнитного поля, в котором элемент находится, а также угол между $\overline{i^{\lambda }}$ и $\overline{{{\rm B}}_{\lambda \chi }}$.

Расчётные схемы обмоток возбуждения и якоря двигателя приняты, соответственно, в виде набора гальванически не связанных токопроводящих прямоугольных рамок, соответствующих контурам криомодулей, и трёхфазной электрической сети, каждой фазе которой соответствует отдельный контур. Тогда, в произвольный момент времени, тяга двигателя определима как векторная сумма величин ${\overline{f}}_{\lambda \chi } \forall \lambda \in \left[\overline{1,N}\right],\chi \in \left[\overline{1,4}\right]$, каждая из которых, – это результат взаимодействия поля тока в одном из упомянутых прямолинейных элементов контуров возбуждения с полем, создаваемым токами якорной обмотки. В последнем выражении, $N$ – число контуров возбуждения двигателя.

Электродинамика двигателя может быть описана уравнениями второго закона Кирхгофа [1]. Подсистема “контур возбуждения – якорная обмотка”, как правило, вырождена [7] – ёмкостные показатели её элементов пренебрежимо низки. Потому, в инерциальной системе отсчёта $Q{i}^{\nu }\forall \nu \in [A,B,C,M]$, указанным уравнениям может быть придан вид [1]:

$u_{\rho }=L_{\rho }\cdot \frac{d}{dt}{i}^{\rho }+L_{\rho \mu }\cdot \frac{d}{dt}{i}^{\mu }+r_{\rho }\cdot i^{\rho } \forall \rho ,\mu \in [A,B,C,M]$, (2)

где $u_{\rho },L_{\rho },L_{\rho \mu },r_{\rho }\forall \rho ,\mu \in [A,B,C,M]$ – электродвижущие силы (э. д. с.) источников, собственные и взаимные индуктивности, а также омические сопротивления элементов описываемой парциальной субсистемы;

$i^{\rho }\forall \rho \in [A,B,C,M]$ – токи в контурах якоря и возбуждения;

$A,B,C,M$ – индексы, соответствующие этим контурам;

$t$ – текущее время.

Поскольку моутер ЛСД движется относительно его статора, то многие из величин $L_{\rho \mu } \forall \rho ,\mu \in [A,B,C,M]$  имеют переменные во времени значения. Это, в свою очередь, приводит к нестационарности коэффициентов уравнений (2) и, как отмечено, существенно снижает практическую ценность версии модели. С целью устранения указанного недостатка, ТС ЛСД следует рассматривать относительно координатной системы, в которой обмотки двигателя условно взаимно неподвижны. В таком качестве, удобнее всего принять [11] отсчётную систему $C_{\alpha }{\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, жёстко связанную с $\alpha$-тым контуром обмотки возбуждения двигателя. Инерциальной $C_{\alpha }{\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, в общем случае, не является. В то же время, весьма желательно [6], чтобы уравнения, описывающие динамику электрической подсистемы ЛСД в координатах ${\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, имели тензорный характер. Такие уравнения могут быть получены [10], из равенств типа (2), путём замены в них локальных производных $\frac{d}{dt}$ абсолютными $\frac{D}{dt}$, а также перехода в этих равенствах к координатам ${\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$. По отношению к произвольному вектору ${\eta }^{\beta }$, соотношение между упомянутыми производными, как известно, имеет вид [10]:

$\frac{D}{dt}{\eta }^{\beta }=\frac{d}{dt}{\eta }^{\beta }+e_{\beta \kappa \nu }\cdot {\omega }_{\kappa }\cdot {\eta }^{\nu }$, (3)

где $e_{\beta \kappa \nu },{\omega }_{\kappa }$ - символ Леви-Чивита, а также вектор угловой скорости вращения $C_{\alpha }{\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$.

После осуществления указанной замены производных, соотношения, полученные из (2), приобретают тензорный характер. Поэтому, в частности, их форма становится инвариантной по отношению к координатам, в которых они записаны. Переход же к координатам ${\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$ выполняется согласно выражениям:

${\eta }^{\lambda }={\vartheta }_{\rho }^{\lambda }\cdot i^{\rho }\forall \rho \in [A,B,C,M];\lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, (4)

где ${\vartheta }_{\rho }^{\lambda }$ – матрица преобразования координат:

${\vartheta }_{\rho }^{\lambda }=\frac{\partial {\eta }^{\lambda }}{\partial i^{\rho }}\forall \rho \in [A,B,C,M];\lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$. (5)

В свою очередь, выражения для связей вида

${\eta }^{\lambda }={\eta }^{\lambda }\left(i^{\rho }\right)\forall \rho \in [A,B,C,M];\lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$ (6)

могут быть получены исходя из того, что [11], в процессе описываемого координатного преобразования, одним из его инвариантов являются, в частности, амплитудные значения токов, протекающих в рассматриваемых контурах.

С помощью же матрицы

${\vartheta }_{\lambda }^{\rho }=\frac{\partial i^{\rho }}{\partial {\eta }^{\lambda }}={\left({\vartheta }_{\rho }^{\lambda }\right)}^T\forall \rho \in [A,B,C,M];\lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, (7)

осуществимо обратное преобразование

$i^{\rho }={\vartheta }_{\lambda }^{\rho }\cdot {\eta }^{\lambda }\forall \rho \in [A,B,C,M];\lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$. (8)

После описанных преобразований, уравнения (2) приобретают вид

$u_{\lambda }=L_{\lambda }\cdot \left(\frac{d}{dt}{\eta }^{\lambda }+e_{\lambda \alpha \nu }\cdot {\omega }_{\alpha }\cdot {\eta }^{\nu }\right)+L_{\lambda \varsigma }\cdot \left(\frac{d}{dt}{\eta }^{\varsigma }+e_{\varsigma \alpha \sigma }\cdot {\omega }_{\alpha }\cdot {\eta }^{\sigma }\right)+r_{\lambda }\cdot {\eta }^{\lambda }\forall \lambda ,\nu ,\varsigma ,\sigma \in \left[\overline{1,3}\right]$. (9)

Таким образом, уравнения (9) имеют постоянные коэффициенты, являются тензорными и описывают электродинамику ЛСД в координатах ${\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$. После их (как правило – численного) разрешения относительно переменных ${\eta }^{\lambda }\forall \lambda \in \left[\overline{1,3}\right]$, последние, с использованием соотношений (8), могут быть преобразованы в координаты $\forall \rho \in [A,B,C,M]$, значения которых определяют реальные токи в контурах двигателя.

Магнитная цепь ЛСД предполагается ненасыщенной [9]. Поэтому она может считаться условно-линейной подсистемой и, следовательно, к ней применим принцип аддитивности. Исходя из этого, результирующее поле фазы якорной обмотки двигателя в любой точке геометрического пространства $\forall \chi \in \left[\overline{1,3}\right]$, в котором реально движется моутер относительно статора, может описываться как сумма полей, создаваемых в этой точке отдельными катушками такой фазы:

${{\rm B}}_{\alpha q}={{\rm B}}_{\alpha \kappa q}\cdot e^{\kappa };e^{\kappa }=1\forall \kappa \in \left[\overline{1,n_p}\right],q\in \left[\overline{1,3}\right]$, (10)

где $n_p$ – число прямоугольных катушек [3], включённых в каждую из фаз якоря;

${{\rm B}}_{\alpha q},{{\rm B}}_{\alpha \kappa q}\forall \kappa \in \left[\overline{1,n_p}\right];q\in \left[\overline{1,3}\right]$ – пространственные компоненты индукции поля, создаваемого всей обмоткой фазы $\alpha$ якоря, а также её отдельными катушками в рассматриваемой точке этого пространства.

В свою очередь, значения величин ${{\rm B}}_{\alpha \kappa q}\forall \kappa \in \left[\overline{1,n_p}\right]; q\in \left[\overline{1,3}\right]$ определимы согласно выражениям [2]:

${{\rm B}}_{\alpha \kappa 1}=-\frac{{\iota }^{*}}{4\cdot \pi }\cdot \left\{\left[F_{12}(k_1^{{}_{\text{'}}^{}},{\varphi }^{\text{'}},\eta )+F_{12}(k_3^{\text{'}},{\varphi }^{\text{'}},\eta )\right]\right.{}_{{}_{{\varphi }_1^{\text{'}}=x_0^{}-l}^{}}^{{}_{}^{{\varphi }_2^{\text{'}}=x_0^{}-l-d}}-{\left.\left[F_{12}(k_2^{{}_{\text{'}}^{}},{\psi }^{\text{'}},\eta )+F_{12}(k_4^{\text{'}},{\psi }^{\text{'}},\eta )\right]{}_{{}_{{\psi }_1^{\text{'}}=x_0^{}+l}^{}}^{{}_{}^{{\psi }_2^{\text{'}}=x_0^{}+l+d}}\right\}}_{{\eta }_1=z_0+h}^{{\eta }_2=z_0-h};$${{\rm B}}_{\alpha \kappa 2}=-\frac{{\iota }^{*}}{4\cdot \pi }\cdot \left\{\left[F_{12}(k_1^{{}_{}^{}},\varphi ,\eta )+F_{12}(k_4,\varphi ,\eta )\right]\right.{}_{{}_{{\psi }_1^{\text{'}}=x_0^{}+l}^{}}^{{}_{}^{{\varphi }_2^{\text{'}}=x_0^{}+l+d}}-{\left.\left[F_{12}(k_2^{{}_{}^{}},{\psi }^{},\eta )+F_{12}(k_3^{},{\psi }^{},\eta )\right]{}_{{}_{{\psi }_1^{}=y_0^{}+a}^{}}^{{}_{}^{{\psi }_2^{}=y_0^{}+a+d}}\right\}}_{{\eta }_1=z_0+h}^{{\eta }_2=z_0-h};$${\left\{F_{12}(k_{}^{},{\varphi }_{}^{{}_{}^{}},\eta )\right\}}_{{\eta }_1=z_0+h}^{{\eta }_2=z_0-h}=\left\{\eta \cdot arctg\frac{k\cdot \varphi -{\eta }^2}{\eta \cdot \sqrt{{(k+\varphi )}^2+{\varphi }^2+{\eta }^2}}-\right.\varphi \cdot arsh\frac{k+\varphi }{\sqrt{{\varphi }^2+{\eta }^2}}{\left.-\frac{k}{\sqrt{2}}\cdot arsh\frac{k+2\cdot \varphi }{\sqrt{k^2+2\cdot {\eta }^2}}\right\}}_{{\eta }_1=z_0+h}^{{\eta }_2=z_0-h}$${{\rm B}}_{\alpha \kappa 3}=-\frac{{\iota }^{*}}{4\cdot \pi }\cdot \left\{\left[f_3^0(k_1^{{}_{}^{}},\varphi ,\eta )+f_3^0(k_4^{{}_{}^{}},{\varphi }_{}^{},\eta )\right]\right.{}_{{}_{{\varphi }_1^{}=y_0^{}-a}^{}}^{{}_{}^{{\varphi }_2^{}=y_0^{}-a-d}}-\left[f_3^0(k_2^{{}_{}^{}},\psi ,\eta )+f_3^0(k_3^{{}_{}^{}},\psi ,\eta )\right]{}_{{}_{{\psi }_1^{}=y_0^{}+a}^{}}^{{}_{}^{{\psi }_2^{}=y_0^{}+a+d}}+\left[f_{31}^{}(k_1^{{}_{\text{'}}^{}},{\varphi }^{\text{'}},\eta )+f_{31}^{}(k_3^{{}_{\text{'}}^{}},{\varphi }^{\text{'}},\eta )\right]{}_{{}_{{\varphi }_1^{\text{'}}=x_0^{}-l}^{}}^{{}_{}^{{\varphi }_2^{\text{'}}=x_0^{}-l-d}}-$${\left.\left[f_{31}(k_2^{{}_{\text{'}}^{}},{\psi }^{\text{'}},\eta )+f_{31}(k_4^{\text{'}},{\psi }^{\text{'}},\eta )\right]{}_{{}_{{\psi }_1^{\text{'}}=x_0^{}+l}^{}}^{{}_{}^{{\psi }_2^{\text{'}}=x_0^{}+l+d}}\right\}}_{{\eta }_1=z_0+h}^{{\eta }_2=z_0-h}\forall \kappa \in \left[\overline{1,n_p}\right]$;

$f_{31}^{}(k,\varphi ,\eta )=-\eta \cdot arsh\frac{k+\varphi }{\sqrt{{\varphi }^2+{\eta }^2}}+\varphi \cdot arctg\frac{(k+\varphi )\cdot \eta }{\varphi \cdot \sqrt{{(k+\varphi )}^2+{\varphi }^2+{\eta }^2}}$;

$f_{32}^{}(k,\varphi ,\eta )=\sqrt{2}\cdot \eta \cdot arsh\frac{k+2\cdot \varphi }{\sqrt{k^2+2\cdot {\eta }^2}}-k\cdot arctg\frac{(k+2\cdot \varphi )\cdot \eta }{k\cdot \sqrt{{(k+\varphi )}^2+{\varphi }^2+{\eta }^2}}$;

$f_3^0(k,\varphi ,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\eta )=f_{31}(k,\varphi ,\eta )+f_{32}(k,\varphi ,\eta )$;

$k_1^{\text{'}}=-k_1^{}=\left[\right(y_0^{}-a)-(x_0^{}-l\left)\right];$

$k_2^{\text{'}}=-k_2^{}=\left[\right(y_0^{}+a)-(x_0^{}+l\left)\right];$

$k_3^{\text{'}}=k_3^{}=-\left[\right(y_0^{}+a)+(x_0^{}-l\left)\right];$

$k_4^{\text{'}}=k_4^{}=-\left[\right(y_0^{}-a)+(x_0^{}+l\left)\right]$, (11)

где ${\iota }^{*}$ – плотность тока на единицу площади сечения обмотки катушки;

$2\cdot h,d$ – высота и толщина её обмотки;

$2\cdot l,2\cdot a$ – размеры её же внутреннего пространства;

$x_0,y_0,z_0$ – координаты точки пространства, в которой описывается поле.

В выражениях (11), кроме того:

${\iota }^{*}=0,5\cdot i\cdot w\cdot {(h\cdot d)}^{(-1)}$, (12)

где $w$ – число витков катушки.

Далее, в (12), вместо , последовательно подставляются значения фазовых токов якоря $i^{\rho }\forall \rho \in [A,B,C]$ и, согласно (11) и (10), находятся компоненты  индукции поля, создаваемого каждым из них.

Пространство системы ${\rm O}{\Xi }_{\chi }\forall \chi \in \left[\overline{1,3}\right]$ – евклидово. Поэтому мгновенное значение модуля вектора полной индукции поля, создаваемого током $\rho$-ой фазы якоря, может быть определено выражением

${{\rm B}}_{\rho }=\sqrt{{{\rm B}}_{\rho q}^{\left(2\right)}\cdot e^q}$;$e^q=1\forall \rho \in [A,B,C],q\in \left[\overline{1,3}\right]$. (13)

Каждое из значений ${{\rm B}}_{\alpha }$ пропорционально порождающему его $i^{\alpha }$, изменяющемуся косинусоидально. Поэтому индукция полного поля якоря вцелом изменяется [11] согласно закону

${\rm B}{}_{res}=1,5\cdot {\rm B}{}_{\max }\cdot \exp (-j\cdot \omega \cdot t)$; $j^{\left(2\right)}=-1$,                         (14)

где ${\rm B}{}_{\max },\omega$ – амплитуда и частота изменения индукции поля одного из токов $i^{\rho }\forall \rho \in [A,B,C]$.

Результат исследования, верифицирующий его корректность

На основании синтезированной ММ ТС ЛСД МЛП, была построена соответствующая компьютерная модель. В качестве примера результатов функционирования последней, на рис. 1 приведена полученная осциллограмма силы тяги двигателя в режиме разгона МЛП. Анализ этого результата свидетельствует о работоспособности моделей, а поэтому – об их пригодности, после верификации и необходимой адаптации к нуждам конкретных практических задач, к использованию в процессе исследований динамики МЛП, оснащённых ЛСД.

 

Рис. 1 Сила тяги ЛСД МЛП

 

Научная новизна и практическая значимость исследования

Научная новизна исследования усматривается в приоритетности создания интегративной холистической парадигмы, ассимилирующей преимущества теорий электрических цепей и магнитного поля, а также соответствующей версии модели ТС двигателя.

Практическая значимость создания указанных парадигмы и модели состоит, очевидно, в возможности существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП, на фоне неповышения их ресурсоёмкости, при использовании в их процессе созданных парадигмы и модели.

Вывод

Создана версия ММ ТС ЛСД МЛП, ассимилирующая достоинства версий модели, созданных в рамках автономных парадигм теорий цепей и поля, но свободная от недостатков таких версий. Этим исчерпывающе решена задача настоящей части исследования.

About the authors

Vladislav A. Polyakov

Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine’s National Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: p_v_a_725@mail.ru

Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Senior Research Officer

Ukraine

Nicholas M. Hachapuridze

Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine’s National Academy of Sciences

Email: itst@westa-inter.com

Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Deputy Director for Science

Ukraine

References

Supplementary files