Integrative model of a magnetically levitated train's traction force

Cover Page

Abstract


Magnetically levitated train's (MLT) motor's traction force realization (TFR) occurs in the process of electromechanical energy transformation by inductor's and armature's magnetic fields interaction. Accordingly, the aim of this study is to obtain a correct description of such energy transformation. At the present stage, a mathematical and, in particular, computer simulation is the main and most universal tool of process’s and system's analysis and synthesis. At the same time, a radical advantage of this tool makes it even more important precision selecting a particular methodology of the study. Especially important it is for such a large and complex system, which is an MLT. Therefore the special attention in the work is given to the reasoned choice and substantiation of research paradigm's selective features. The results of analysis of existing versions of TFR process model indicate that each of these versions possesses both advantages and disadvantages. Therefore, one of the main results of this study should be the creation of a mentioned process's mathematical model's new version. The created version of the model should preserve the advantages of previous versions, but to be free of their disadvantages. The rationality of application, for the purposes of motor's TFR process research, of the integrative holistic paradigm was convincingly proved in the work. The priority of creation of such paradigm and corresponding version of the TFR process model constitute the scientific novelty of research. The main manifestation of practical value of this research in the opportunity, in case of use of its results, of a significant increasing of efficiency of MLT's dynamic investigations, on the condition that their generalized costs will not increase.


Введение

Во многих случаях для целей тяги магнитолевитирующих поездов (МЛП) целесообразно использовать линейные синхронные двигатели (ЛСД) [3, 12, 13, 14, 16]. Процессы, протекающие в их различных элементах, взаимосвязаны и являются частями единого суперпроцесса электромагнитно-механического энергопреобразования. Существенная сложность таких процессов побуждает исследователей к поиску путей сепаратного изучения их отдельных компонентов, ключевым из которых является электромагнитный. Его составляющие порознь с успехом могут изучаться [4, 15, 17] в рамках теорий электрических цепей, либо электромагнитного поля. Поэтому, различные версии математической модели (ММ) тяговой силы (ТС) МЛП строились [8, 9, 19] исходя из указанных автономных парадигм её моделирования.

Анализ свойств имеющихся версий ММ ТС МЛП свидетельствует о том, что каждая из них обладает как преимуществами, так и недостатками. Версии модели, исходящие из теории электрических цепей, достаточно функциональны. Но основным недостатком их уравнений является нестационарность коэффициентов, вызываемая переменностью значений взаимных индуктивностей контуров фаз якоря, как между собой, так и с контурами возбуждения, при изменении положения моутера (подвижных частей ЛСД). Это снижает ценность версий, поскольку затрудняет моделирование [11]. Версии же модели, базирующиеся на теории поля, менее ресурсоёмки, однако и менее практичны – вследствие ограниченности их общности, вызываемой недостаточной адекватностью предпосылок построения этих версий.

Задача исследования

Изложенное свидетельствует об актуальности создания ММ ТС МЛП, ассимилирующей достоинства имеющихся версий такой модели, но свободной от их недостатков [5, 11, 18, 20]. Синтез такой модели является основной задачей настоящей работы.

Методика исследования

ТС ЛСД является результатом взаимодействия, неподвижных друг относительно друга, магнитных полей токов его индуктора и якоря. Поэтому, при построении искомой ММ ТС, в качестве её паттерна должен быть принят элементарный акт такого взаимодействия, который может быть описан выражением закона Ампера [1]:

fλχ=lλχiλΒλχSin  αλχ, (1)

где fλχ – сила взаимодействия полей, создаваемых токами, текущими в цепях -го прямолинейного элемента λ-го контура индуктора двигателя и его якоря;

lλχ, iλ, Βλχαλχ  – длина упомянутого элемента, ток в нём, индукция (условно однородного – в пределах элемента) магнитного поля, в котором элемент находится, а также угол между iλ¯ и Βλχ¯.

Расчётные схемы обмоток возбуждения и якоря двигателя приняты, соответственно, в виде набора гальванически не связанных токопроводящих прямоугольных рамок, соответствующих контурам криомодулей, и трёхфазной электрической сети, каждой фазе которой соответствует отдельный контур. Тогда, в произвольный момент времени, тяга двигателя определима как векторная сумма величин f¯λχ λ[1,N¯],  χ[1,4¯], каждая из которых, – это результат взаимодействия поля тока в одном из упомянутых прямолинейных элементов контуров возбуждения с полем, создаваемым токами якорной обмотки. В последнем выражении, N – число контуров возбуждения двигателя.

Электродинамика двигателя может быть описана уравнениями второго закона Кирхгофа [1]. Подсистема “контур возбуждения – якорная обмотка”, как правило, вырождена [7] – ёмкостные показатели её элементов пренебрежимо низки. Потому, в инерциальной системе отсчёта Qiν    ν[A,B,C,M], указанным уравнениям может быть придан вид [1]:

uρ=Lρddtiρ+Lρμddtiμ+rρiρ   ρ,μ[A,B,C,M], (2)

где uρ,Lρ,Lρμ,rρ  ρ,μ[A,B,C,M] – электродвижущие силы (э. д. с.) источников, собственные и взаимные индуктивности, а также омические сопротивления элементов описываемой парциальной субсистемы;

iρ    ρ[A,B,C,M] – токи в контурах якоря и возбуждения;

A,B,C,M – индексы, соответствующие этим контурам;

t – текущее время.

Поскольку моутер ЛСД движется относительно его статора, то многие из величин Lρμ ρ,μ    [A,  B,  C,  M]  имеют переменные во времени значения. Это, в свою очередь, приводит к нестационарности коэффициентов уравнений (2) и, как отмечено, существенно снижает практическую ценность версии модели. С целью устранения указанного недостатка, ТС ЛСД следует рассматривать относительно координатной системы, в которой обмотки двигателя условно взаимно неподвижны. В таком качестве, удобнее всего принять [11] отсчётную систему Cαηλλ[1,3¯], жёстко связанную с α-тым контуром обмотки возбуждения двигателя. Инерциальной Cαηλλ[1,3¯], в общем случае, не является. В то же время, весьма желательно [6], чтобы уравнения, описывающие динамику электрической подсистемы ЛСД в координатах ηλλ[1,3¯], имели тензорный характер. Такие уравнения могут быть получены [10], из равенств типа (2), путём замены в них локальных производных ddt абсолютными Ddt, а также перехода в этих равенствах к координатам ηλλ[1,3¯]. По отношению к произвольному вектору ηβ, соотношение между упомянутыми производными, как известно, имеет вид [10]:

Ddtηβ=ddtηβ+eβκνωκην, (3)

где eβκν,  ωκ - символ Леви-Чивита, а также вектор угловой скорости вращения Cαηλλ[1,3¯].

После осуществления указанной замены производных, соотношения, полученные из (2), приобретают тензорный характер. Поэтому, в частности, их форма становится инвариантной по отношению к координатам, в которых они записаны. Переход же к координатам ηλλ[1,3¯] выполняется согласно выражениям:

ηλ=ϑρλiρρ[A,B,C,M];λ[1,3¯], (4)

где ϑρλ – матрица преобразования координат:

ϑρλ=ηλiρρ[A,B,C,M];λ[1,3¯]. (5)

В свою очередь, выражения для связей вида

ηλ=ηλ(iρ)ρ[A,B,C,M];λ[1,3¯] (6)

могут быть получены исходя из того, что [11], в процессе описываемого координатного преобразования, одним из его инвариантов являются, в частности, амплитудные значения токов, протекающих в рассматриваемых контурах.

С помощью же матрицы

ϑλρ=iρηλ=(ϑρλ)Tρ[A,B,C,M];λ[1,3¯], (7)

осуществимо обратное преобразование

iρ=ϑλρηλ    ρ[A,B,C,M];λ[1,3¯]. (8)

После описанных преобразований, уравнения (2) приобретают вид

uλ=Lλddtηλ+eλανωαην+Lλςddtης+eςασωαησ+rληλ  λ,ν,ς,σ[1,3¯]. (9)

Таким образом, уравнения (9) имеют постоянные коэффициенты, являются тензорными и описывают электродинамику ЛСД в координатах ηλλ[1,3¯]. После их (как правило – численного) разрешения относительно переменных ηλλ[1,3¯], последние, с использованием соотношений (8), могут быть преобразованы в координаты   ρ[A,B,C,M], значения которых определяют реальные токи в контурах двигателя.

Магнитная цепь ЛСД предполагается ненасыщенной [9]. Поэтому она может считаться условно-линейной подсистемой и, следовательно, к ней применим принцип аддитивности. Исходя из этого, результирующее поле фазы якорной обмотки двигателя в любой точке геометрического пространства χ[1,3¯], в котором реально движется моутер относительно статора, может описываться как сумма полей, создаваемых в этой точке отдельными катушками такой фазы:

Βαq=Βακqeκ;  eκ=1κ[1,np¯],  q[1,3¯], (10)

где np – число прямоугольных катушек [3], включённых в каждую из фаз якоря;

Βαq,Βακqκ[1,np¯];  q[1,3¯] – пространственные компоненты индукции поля, создаваемого всей обмоткой фазы α якоря, а также её отдельными катушками в рассматриваемой точке этого пространства.

В свою очередь, значения величин Βακqκ[1,np¯];   q[1,3¯] определимы согласно выражениям [2]:

Βακ1=ι*4πF12(k1',  ϕ',  η)+F12(k3',  ϕ',  η)ϕ1'=x0lϕ2'=x0ldF12(k2',  ψ',η)+F12(k4',  ψ',  η)ψ1'=x0+lψ2'=x0+l+dη1=z0+hη2=z0h;Βακ2=ι*4πF12(k1,  ϕ,  η)+F12(k4,  ϕ,  η)ψ1'=x0+lϕ2'=x0+l+dF12(k2,  ψ,η)+F12(k3,  ψ,  η)ψ1=y0+aψ2=y0+a+dη1=z0+hη2=z0h;F12(k,  ϕ,  η)η1=z0+hη2=z0h=ηarctgkϕη2η(k+ϕ)2+ϕ2+η2ϕarshk+ϕϕ2+η2k2arshk+2ϕk2+2η2η1=z0+hη2=z0hΒακ3=ι*4πf30(k1,  ϕ,  η)+f30(k4,  ϕ,  η)ϕ1=y0aϕ2=y0adf30(k2,  ψ,  η)+f30(k3,  ψ,  η)ψ1=y0+aψ2=y0+a+d+f31(k1',  ϕ',  η)+f31(k3',  ϕ',  η)ϕ1'=x0lϕ2'=x0ldf31(k2',  ψ',η)+f31(k4',  ψ',  η)ψ1'=x0+lψ2'=x0+l+dη1=z0+hη2=z0h  κ[1,np¯];

f31(k,  ϕ,  η)=ηarshk+ϕϕ2+η2+ϕarctg(k+ϕ)ηϕ(k+ϕ)2+ϕ2+η2;

f32(k,  ϕ,  η)=2ηarshk+2ϕk2+2η2karctg(k+2ϕ)ηk(k+ϕ)2+ϕ2+η2;

f30(k,  ϕ,​​  η)=f31(k,  ϕ,  η)+f32(k,  ϕ,  η);

k1'=k1=[(y0a)(x0l)];

k2'=k2=[(y0+a)(x0+l)];

k3'=k3=[(y0+a)+(x0l)];

k4'=k4=[(y0a)+(x0+l)], (11)

где ι* – плотность тока на единицу площади сечения обмотки катушки;

2h,  d – высота и толщина её обмотки;

2l,   2a – размеры её же внутреннего пространства;

x0,y0,z0 – координаты точки пространства, в которой описывается поле.

В выражениях (11), кроме того:

ι*=0,5iw(hd)(1), (12)

где w – число витков катушки.

Далее, в (12), вместо , последовательно подставляются значения фазовых токов якоря iρ  ρ[A,B,C] и, согласно (11) и (10), находятся компоненты  индукции поля, создаваемого каждым из них.

Пространство системы ΟΞχ  χ[1,3¯] – евклидово. Поэтому мгновенное значение модуля вектора полной индукции поля, создаваемого током ρ-ой фазы якоря, может быть определено выражением

Βρ=Βρq(2)eq;eq=1ρ[A,B,C],q[1,3¯]. (13)

Каждое из значений Βα пропорционально порождающему его iα, изменяющемуся косинусоидально. Поэтому индукция полного поля якоря вцелом изменяется [11] согласно закону

Βres=1,5Βmaxexp(jωt)j(2)=1,                         (14)

где Βmax,ω – амплитуда и частота изменения индукции поля одного из токов iρ  ρ[A,B,C].

Результат исследования, верифицирующий его корректность

На основании синтезированной ММ ТС ЛСД МЛП, была построена соответствующая компьютерная модель. В качестве примера результатов функционирования последней, на рис. 1 приведена полученная осциллограмма силы тяги двигателя в режиме разгона МЛП. Анализ этого результата свидетельствует о работоспособности моделей, а поэтому – об их пригодности, после верификации и необходимой адаптации к нуждам конкретных практических задач, к использованию в процессе исследований динамики МЛП, оснащённых ЛСД.

 

Рис. 1 Сила тяги ЛСД МЛП

 

Научная новизна и практическая значимость исследования

Научная новизна исследования усматривается в приоритетности создания интегративной холистической парадигмы, ассимилирующей преимущества теорий электрических цепей и магнитного поля, а также соответствующей версии модели ТС двигателя.

Практическая значимость создания указанных парадигмы и модели состоит, очевидно, в возможности существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП, на фоне неповышения их ресурсоёмкости, при использовании в их процессе созданных парадигмы и модели.

Вывод

Создана версия ММ ТС ЛСД МЛП, ассимилирующая достоинства версий модели, созданных в рамках автономных парадигм теорий цепей и поля, но свободная от недостатков таких версий. Этим исчерпывающе решена задача настоящей части исследования.

Vladislav A. Polyakov

Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine’s National Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: p_v_a_725@mail.ru

Ukraine

Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Senior Research Officer

Nicholas M. Hachapuridze

Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine’s National Academy of Sciences

Email: itst@westa-inter.com

Ukraine

Ph. D. of Engineering Sciences; Senior Research Officer; Deputy Director for Science

  1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи - М.: Высш. шк., 1996. - 578 с.
  2. Бирюков В. А. Магнитное поле прямоугольной катушки с током / B. А. Бирюков, В. И. Данилов // Журнал технической физики. - 1961. - Т. XXXI, № 4. - С. 428 - 435.
  3. Дзензерский В. А. Высокоскоростной магнитный транспорт с электродинамической левитацией / В. А. Дзензерский, В. И. Омельяненко, C. В. Васильев, В. И. Матин, С. А. Сергеев// - К.: Наук. думка, 2001. - 479 с.
  4. Вольдек А. И. Электрические машины - Л.: Энергия, 1984 - 832 с.
  5. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин. - М.: Высш. шк., 2001. - 327 с.
  6. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике. - М., Л.: Госэнергоиздат, 1955. - 275 с.
  7. Львович А. Ю. Электромеханические системы - Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. - 296 с.
  8. Поляков В. А. Динамика тяговой подсистемы магнитолевитирующего поезда (полевая парадигма исследования) / В. А. Поляков, Н. М. Хачапуридзе // Наук. вісн. Херсонс. морської академії -2013. - № 1 (8). С. 258 - 266.
  9. Поляков В. А. Динамика тяговой электромагнитной подсистемы магнитолевитирующего поезда / В. А. Поляков, Н. М. Хачапуридзе // Вісн. Харківс. нац. ун-ту ім. В. Н. Каразіна. Серія: «Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління» - 2012. - № 1015. Вип. 19. - С. 268-273.
  10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 644 с.
  11. Сипайлов Г. А. Электрические машины (специальный курс) / Г. А. Сипайлов, Е. В. Кононенко, К. А. Хорьков - М.: Высш. шк., 1987. - 287 с.
  12. Azukizava T. Optimum linear synchronous motor design for high speed ground transportation // IEEE Trans. On Power Apparatus and Systems - 1983. - Vol. Pas-102, № 10. - P. 3306-3314.
  13. Chong Y. Maglev train's development prospects in China / Y. Chong, W. Kane // Maglev Train in China Journal - 2016, № 2. - P. 75 - 90.
  14. Fujiwara S. Superconducting maglev and its electromagnetic characteristics // SAE Technical Paper Series - 1995. - SAE 95-1922 - P. 1-6.
  15. Lakhavani S. T. Study of a liner synchronous motor for high speed transport applications / S. T. Lakhavani, G. E. Davson // 34th Vehicular Technol. Conf., vol. 34, Pittsburg, Pennsylvania, U.S.A., May 21-23, 1984. P. 220-225.
  16. Lee K. B. Study on Energy Efficiency Analysis by Maglev Trains / K. B. Lee, J. C. A. Kim // Electrical and Electronic Engineering. Advanced Science and Technology Letters/ - 2015. - Vol. 118 - pp. 48-53.
  17. Matsuoka K. Multi-phase current-fed inverter-driven linear motor and its application to the guided ground transportation system // The Proc. IPEC - 1990. - Vol. 1. - pp. 604-611.
  18. Russell J. List of maglev train / J. Russell, R. Cohn - Johannesburg: Book on demand, 2015. - 135 p.
  19. Wang X. Wang Three Dimensional Electromagnetic Field Equations and General Problems with Definitive Solution in Linear Motor Anisotropic Media / X. Wang, S. Yuan, Z. Wang // Transacti. of China Electrotechn. Soc., 2006. - Vol. 21, № 6, - pp. 59-64.
  20. Zhigang L. Maglev Trains / L. Zhigang, L. Zhiqiang, L. Xiaolong - Berlin: Springer, 2015. - 215 p.

Supplementary files

Supplementary Files Action
1. Fig. 1 LSD MLP traction force View (20KB) Indexing metadata

Views

Abstract - 201

PDF (Russian) - 153

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2017 Polyakov V.A., Hachapuridze N.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies