Calculation of geometric dimensions of the levitation track

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время среди потенциально возможных решений проблемы высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) являются системы, в которых подвижной состав (экипаж) движется в трубе с разреженной атмосферой, что обеспечивает низкое значение аэродинамического сопротивления и независимость от внешних условий. Высокие скорости (600 км/ч и выше), развиваемые транспортом такого рода, требуют инженерного решения ряда вопросов, например, вопроса замены традиционной пары «колесо-рельс», которая не справляется со своими обязанностями при таких скоростях. Наиболее достойной заменой являются системы магнитной левитации [1].

В настоящей работе рассматривается система магнитной левитации отталкивания (электродинамического типа). Принцип последней, как известно, основан на использовании электромагнитных сил, образующихся при взаимодействии магнитного поля движущихся сверхпроводящих соленоидов, расположенных на экипаже, с вихревыми токами, индуцированными им в электропроводящей структуре, находящейся на путевом полотне. Возможны два варианта выполнения данной электропроводящей структуры: в виде сплошным полотном либо в виде периодической дискретной катушечной структуры [2].

В данной работе рассматривается вариант со сплошной полосой, здесь основной задачей является рациональный выбор поперечных размеров полотна, что связано с уменьшением металлоемкости последнего. В работе будет обсужден вопрос об условиях этого выбора, исходя из требований электродинамики системы левитации.

I. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Для решения указанной задачи необходимо рассмотреть электромагнитные силы в системы с учетом краевых эффектов. При этом достаточно ограничиться случаем, когда источник содержит один соленоид (его будет имитировать прямоугольная рамка с током). Рассмотрим модель, представленную на Рис. 1. Здесь обозначены: c иd – ширина и толщина полотна, μ и σ – магнитная проницаемость и проводимость полотна ( $\mu ={\mu }_0=4\pi \bullet {10}^{-7} Гн\bullet {м}^{-1}$), 2a и 2b– размеры рамки с током I, h – высота подвеса. Токовая рамка движется параллельно потоку в направлении x со скоростью v. Координатная система xyz связана с рамкой. Аналогичная модель, но при полотне бесконечных размеров рассматривалась в [3].

 

Рис. 1. Схема системы магнитной левитации

 

Электромагнитные процессы в полотне описываются уравнением диффузии магнитного поля

 

$∆B= \mu \sigma \frac{\partial B}{\partial t} .$ (1)

 

Здесь $B=e_x{B}_x+e_y{B}_y+e_z{B}_z, e_x, e_y, e_z$ – орты, ∆ – трехмерный лапласиан. Во всем остальном пространстве имеет силу уравнение Лапласа. В системе координат xyz (они неподвижны относительно токовой рамки) уравнение (1) получает вид:

 

$∆B= \mu \sigma v\frac{\partial B}{\partial x}.$ (2)

 

Переход от уравнения (1) к (2) строго справедлив при постоянной скорости токовой рамки. Однако он допустим и в условиях переменной скорости, если при этом не возникают (либо они незначительны) переходные электромагнитные процессы.

Как можно видеть из приводимых ниже рис. 5 и 6 система левитации при высоких скоростях источника отличается высокой инерционностью в электромагнитном отношении.

Заменим источник слоем тока с полностью $J(x,y)$, равной

$J(x,y)=e_x{J}_x(x,y)+e_y{J}_y(x,y).$ (3)

 

Полагаем, что указанный слой совпадает с проекцией полотна на плоскость xy. В соответствии с геометрией рассматриваемой модели можем записать

 

$J_x (x, y)=\frac{1}{2\pi }\sum _{(n=1,3,\dots )}^{}sin\frac{\pi n}{c}y{\int }_{-\infty }^{\infty }{J}_x (k_x, n) e^{i{k}_{x}x}d{k}_x,$ (4)

 

$J_y (x, y)=\frac{1}{2\pi }\sum _{(n=1,3,\dots )}^{}\cos \frac{\pi n}{c}y{\int }_{-\infty }^{\infty }{J}_x (k_x, n) e^{i{k}_{x}x}d{k}_x.$ (5)

 

Здесь k_x– волновой вектор в направлении x,

 

$J_x(k_x, n)=\frac{8I}{c{k}_x}sin\frac{\pi n}{c}a sin k_{x}b,$ (6)

 

$J_y(k_x, n)=i\frac{8I}{\pi n}sin\frac{\pi n}{c}a sin k_{x}b.$ (7)

 

Таким образом, задача о магнитном поле в рассматриваемой системе сводится к решению уравнений (2) и Лапласа при источнике, определяемом соотношениями (3)–(7). Эти решения должны удовлетворять условиям стыковки поля на границах областей, условиям бесконечности

$j_y{|}_{y=\pm c⁄2}=0,$

где j_y – y-компонента плотности тока в полотне.

 

В силу линейности задачи искомые решения не должны отличаться по структуре от соотношений (4) и (5). Имея в виду это, можно рассчитать вихревое поле во всех областях рассматриваемой системы, но для дальнейшего достаточно знать это поле только в плоскости токовой рамки. Оно дается соотношениями

$B_x=\frac{1}{2\pi } \sum _{n=1,3,....}\cos \frac{\pi n}{c} y{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_x e^{i{k}_x x}d{k}_x,$ (8)

 

$B_y=\frac{1}{2\pi } \sum _{n=1,3,....}\sin \frac{\pi n}{c} y{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_y e^{i{k}_x x}d{k}_x, {\phi }_y=i\frac{\pi n}{c{k}_x}{\phi }_x,$ (9)

 

$B_z=\frac{1}{2\pi } \sum _{n=1,3,....}\cos \frac{\pi n}{c} y{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_z e^{i{k}_x x}d{k}_x, {\phi }_z=i\frac{k}{k_x}{\phi }_x,$ (10)

 

где

$$\begin{gathered} {\phi }_x={\mu }_0{J}_y(k_x, n)\left[\frac{1+\beta -(1-\beta )e^{-2\beta kd}}{(1+\beta {)}^2-(1-\beta {)}^2{e}^{-2\beta kd}}-\frac{1}{2}\right] e^{-2kh}, \\ \beta ={\beta }_1-i{\beta }_2=\frac{1}{k}{\left[k_x^2-{\left(\frac{\pi n}{c}\right)}^2-i\lambda k_x\right]}^{1⁄2}, \\ k={\left[k_x^2+{\left(\frac{\pi n}{c}\right)}^2\right]}^{1/2}, \lambda ={\mu }_0\sigma v. \end{gathered}$$

 

 

II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ

Электромагнитные силы, действующие на токовую рамку, образуются за счет взаимодействия вещественной части вихревого поля (8)–(10) с током в рамке [4–8]. Эти силы равны

 

$F_x=-\frac{8{\mu }_0{I}^2}{{\pi }^2}\bullet D, F_z=-\frac{8{\mu }_0{I}^2}{{\pi }^2}\bullet L.$ (11)

 

Здесь $8{\mu }_0{I}^2/{\pi }^2$ – нормирующий множитель, D и L–безразмерные силы торможения и левитации соответственно. Последние рассчитываются по формулам

$D= \frac{ 2c}{\pi }\sum _{n=1,3,\dots }\frac{1}{n^2} {\sin }^2\frac{\pi n}{c} a{\int }_0^{\infty }\frac{k}{k_x} Z_x e^{-2kh} {\sin }^2{k}_{x}b d{k}_x,$ (12)

 

$L= \frac{ 2c}{\pi }\sum _{n=1,3,\dots } {\sin }^2\frac{\pi n}{c} a{\int }_0^{\infty }\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{c{k}_x}{\pi }}\right)}^2}\right] Z_z e^{-2kh} {\sin }^2{k}_{x}b d{k}_x,$ (13)

где

$Z_x=\frac{{\beta }_1{\beta }_2\left[(1+{\beta }_1)+(1-{\beta }_1)e^{-4{\beta }_{1}kd}+2\left({\beta }_1 \sin 2{\beta }_{2}kd-\cos 2{\beta }_{2}kd\right)e^{-2{\beta }_{1}kd}\right]}{{\beta }_1^2\left[(1+{\beta }_1{)}^2+(1-{\beta }_1{)}^2{e}^{-4{\beta }_{1}kd}\right]-2{\beta }_2^2 \left[2{\beta }_{2 }\sin 2{\beta }_{2}kd-(1-{\beta }_2^2) \cos 2{\beta }_{2}kd\right]e^{-2{\beta }_{1}kd}},$ (14)

 

$Z_z=1-\frac{{\beta }_1\left[(1+{\beta }_1{)}^2-(1-{\beta }_1{)}^2{e}^{-4{\beta }_{1}kd}\right]+2{\beta }_2\left[(1-{\beta }_2^2) \sin 2{\beta }_{2}kd+2{\beta }_{2 }\cos 2{\beta }_{2}kd\right]e^{-2{\beta }_{1}kd}}{{\beta }_1^2\left[(1+{\beta }_1{)}^2+(1-{\beta }_1{)}^2{e}^{-4{\beta }_{1}kd}\right]-2{\beta }_2^2\left[2{\beta }_2 \sin 2{\beta }_{2}kd-(1-{\beta }_2^2) \cos 2{\beta }_{2}kd\right]e^{-2{\beta }_{1}kd}}.$ (15)

 

Теперь можно рассмотреть частные случаи.

При бесконечно толстом полотне ($d=\infty$) из (14) и (15) имеем

$Z_x=\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1(1+{\beta }_1)}, Z_z=1-\frac{1}{{\beta }_1}.$

Если к тому же $\lambda \to \infty$ (случай идеально проводящего полотна, существенно высокой скорости движения токовой рамки), то ${\beta }_1, {\beta }_2\to \infty$ и Z_x=0, Z_z=1. Следовательно, тормозящая сила исчезает (отсутствуют джоулевые потери в полотне), а подъемная сила достигнет верхнего предела.

При бесконечно широком полотне ($c=\infty$) в (12) и (13) можно совершить предельный переход. Так как при этом $\frac{\pi n}{c}\to k_y$, где k_y– волновой вектор в направлении y, $2\frac{\pi }{c}\sum \to {\int }_0^{\infty }d{k}_y$, то из (12) и (13) получим результаты, приведенные в работе [3]

$D={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }\frac{k}{k_x{k}_y^2} Z_x{e}^{-2kh} si{n}^2 k_{x}b si{n}^2 k_{y}d{k}_x d{k}_y,$

$L={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }\left(\frac{1}{k_x^2}+\frac{1}{k_y^2}\right) Z_z{e}^{-2kh} si{n}^2 k_{x}b si{n}^2 k_{y}ad{k}_{x}d{k}_y.$

III. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

На Рис. 2–8 представлены результаты расчетов безразмерных сил торможения (D) и левитации (L) по приведенным формулам. Расчеты выполнялись при следующих размерах токовой рамки и параметрах левитационного полотна: a=0,25 м, b=1,5 м, $\mu ={\mu }_0=4\pi \bullet {10}^{-7} Гн\bullet {м}^{-1}$, $\sigma =3,57\bullet {10}^{-7} О{м}^{-1}\bullet {м}^{-1}$. Из этих рисунков можно получить представление о силовых характеристиках левитационной системы с учетом краевых эффектов.

В полотне ограниченной ширины нет растекания токов, которое наблюдается в неограниченной плите. Это приводит к увеличению плотности этих токов, следовательно, и электромагнитных сил (Рис. 2, 3). Однако, указанное увеличение тем значительнее, чем меньше высота подвеса соленоида, поскольку с ее уменьшением поле соленоида в полотне растет быстрее, чем за его пределами (в плоскости полотна). При рекомендуемых в литературе значениях высоты электродинамического подвеса с использованием сверхпроводящих соленоидов возбуждения (0,2–0,3 м) краевой эффект, обусловленный ограниченностью ширины полотна, проявляется умеренно и им можно пренебречь, если ширина полотна удовлетворяет следующему условию $c\ge 2a\left(1+5 \frac{a}{a+h}\right)$. Это следует из Рис. 2 и 3, где пунктирные линии дают значения электромагнитных сил при бесконечно широком полотне.

 

Рис. 2. Зависимость сил торможения D от ширины полотна cпри различных значениях высоты подвеса h

 

Рис. 3. Зависимость сил левитации L от ширины полотна cпри различных значениях высоты подвеса h

 

Критерием совершенства системы подвеса в электромагнитном отношении может служить отношение $F_L⁄ F_D=L/D$, известное под названием левитационного качества [9–15]. Из рис. 4 видно, что эта величина незначительно зависит от ширины полотна и находится на уровне, соответствующем полотну неограниченных размеров (пунктирные линии). Поэтому при выборе ширины полотна следует руководствоваться соображениями, связанные с расходом материала и с появлением боковых электромагнитных сил, величина которых тем значительнее, чем больше отношение поперечного смещения соленоида возбуждения к ширине полотна. Возможно, указанные противоречивые соображения будут согласованы, если ширину полотна оценить по формуле $c=2a\left(1+\frac{a}{a+h}\right)$.

 

Рис. 4. Зависимость левитационного качества L/D от ширины полотна c при различных значениях высоты подвеса h

 

С уменьшением толщины полотна растет плотность вихревых токов. В связи с этим с этим увеличиваются джоулевые потери в полотне, следовательно, и тормозная сила (Рис. 5). Однако, из-за скин-эффекта, толщина полотна при высоких скоростях соленоида проявляются в меньшей степени. Поэтому с увеличением скорости соленоида зависимость электромагнитных сил от толщины полотна становится более слабой. Это касается как тормозной, так и подъемной силы (Рис. 6).

 

Рис. 5. Зависимость сил торможения D от скорости v при различных значениях толщины полотна d

 

В тонком полотне плотность вихревых токов (x-компонента) распределяется более равномерно по ширине полотна. Это вызывает ослабление вихревого поля в области, занятой продольными сторонами соленоида, и приводит к соответствующему изменению подъемной силы с уменьшением толщины полотна (Рис. 6).

 

Рис. 6. Зависимость сил левитации L от скорости v при различных значениях толщины полотна d

 

Левитационное качество заметно зависит от толщины полотна (Рис. 7). Ухудшение этого показателя с уменьшением толщины объясняется ростом джоулевых потерь в полотне (Рис. 5), в то время как подъемная сила приближается к одному уровню. При толщине полотна ~ 0,05 м левитационное качество достигает уровня, соответствующего бесконечно толстому полотну. Эти закономерности наблюдаются и при других значениях ширины полотна (Рис. 8). Таким образом, с точки зрения электродинамики величину ~ 0,05 м можно рассматривать как верхний предел толщины полотна. Вопрос о конкретном значении толщины полотна, которая будет меньше 0,05 м, должен решаться в соответствии с требованиями, связанными с механической прочностью и жесткостью полотна в условиях импульсивного действия механической и тепловой нагрузки.

 

Рис. 7. Зависимость левитационного качества L/D от толщины полотна d при различных значениях высоты подвеса h

 

Рис. 8. Зависимость левитационного качества L/D от толщины полотна d при различных значениях ширины полотна с

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выборе ширины левитационного полотна следует руководствоваться соображениями, связанными с минимизацией расхода металла, и с появлением боковых электромагнитных сил дестабилизирующего характера, величина которых тем значительнее, чем больше отношение поперечного смещения соленоида возбуждения к ширине полотна. С точки зрения электродинамики величину порядка нескольких сантиметров можно рассматривать как верхний предел толщины левитационного полотна.

About the authors

Konstantin K. Kim

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University

Author for correspondence.
Email: kimkk@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-7282-4429
SPIN-code: 3278-4938
https://www.pgups.ru/sveden/employees/kim-konstantin-konstantinovich

Doctor of technical Sciences, Professor

Russian Federation, 9 Moskovsky Ave., Saint Petersburg, 190131

Vadim V. Veshkin

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University

Email: Vadim.veshkin@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7363-9919
SPIN-code: 1829-2845
https://www.pgups.ru/sveden/employees/veshkin-vadim-vitalevich

Graduate student

Russian Federation, 9 Moskovsky ave., St. Petersburg, 190031

Igor R. Kron

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University

Email: mechenu@icloud.com
ORCID iD: 0000-0003-1690-0524
SPIN-code: 6604-2966

Student

Russian Federation, 9 Moskovsky ave., St. Petersburg, 190031

References

Supplementary files