Method for determining surface stresses under the roller of a vibrating roller

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время одним из наиболее распространенных способов уплотнения грунта на линейных объектах является его укатка гладковальцовым катком в вибрационном режиме [1–6].

Использование вибрации позволяет снизить рабочую массу машины без уменьшения уплотняющей способности [1, 7, 8].

Как результат, снижается металлоемкость и потребная мощность двигателя, следовательно, уменьшается стоимость машины и затраты на ее эксплуатацию и содержание.

По этой причине на вибрационные катки приходится значимая доля парка уплотняющей техники.

Однако при этом процесс работы катка в вибрационном режиме описан в литературе не так полно, как процесс работы катка в статическом режиме.

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ

Решение контактной задачи применительно к вальцу катка приводится во многих источниках [7–13]. Для сопоставления между собой наиболее распространенных вариантов, предлагаемых разными авторами, составлена Табл. 1.

 

Таблица 1. Основные методы определения контактных напряжений и их характеристики

Table 1. Main methods for determining contact stresses and their characteristics

Автор и ссылка на источник	Определение контактных напряжений
	Формула	Переменные
Хархута Н.Я. [7, 8]	${\sigma }_{к}=\sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}$ (1)	q – линейное давление по ширине вальца, МПа; E0 – модуль деформации грунта, МПа; R – радиус вальца, см.
Хархута Н.Я. [7]	${\sigma }_{к}=\sqrt{\frac{k_{пр}\cdot \frac{P+Q}{B}\cdot E_0}{R}}$ (2)	P – амплитудное значение возмущающей силы, кгс; Q – действующая на валец силы тяжести, кгс; B – ширина вальца, см; kпр – коэффициент превышения, зависящий от отношения P / Q [7].
Носов С.В. [9, 10]	${\sigma }_{к}=\sqrt{\frac{\left[q_{под}+K_{Э}^2\cdot q_{ст.в.}\right]\cdot E_0}{R}}$ (3)	qпод – линейная нагрузка на контакте вальца от массы рамы, кгс/см; KЭ – коэффициент эффективности использования виброкатка по сравнению со статическим катком [7]; qст.в. – линейная нагрузка на контакте вальца и грунта от массы самого вальца, кгс/см.
Савельев С.В., Михеев В.В. [11]	${\sigma }_{к}=\frac{M\cdot g}{2\pi \cdot {\alpha }_0\cdot R\cdot B}$ (4)	M – масса, приходящаяся на валец, кг; g – ускорение свободного падения, м/с2; α0 – угол раствора, соответствующей по величине дуге окружности, описываемой грунтом вокруг заглубленной части вальца, рад.
Захаренко А.В. [12]	${\sigma }_{к}=\sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}-T\cdot \sqrt{\frac{E_0}{q\cdot B^2\cdot R}}$ (5)	T – дополнительное давление от вертикальной составляющей тягового усилия, кгс/см2.
Игнатьев А.А. [13]	${\sigma }_{к}=K_{Э}\cdot \sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}\cdot \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }\cdot t}{\mathrm{\theta }}\right)$ (6)	θ – общее время действия напряжений от воздействия вибрационного вальца, с; t – момент времени, на который определяется контактное напряжение, с.

 

По данным, приведенным в Табл. 1, можно заметить, что зависимости (1)–(3) и (5), (6) имеют схожую структуру. Это объясняется использованием теории Герца-Беляева [7, 14]. Так как во всех зависимостях рассматривается воздействие вальца катка (абсолютно жесткого тела) на слой грунта (упруго-пластичного тела), то применение теории Герца-Беляева является оправданным.

В первом приближении контактное напряжение определяется как отношение вертикальной составляющей всех сил к площади контакта:

${\sigma }_{к}=\frac{F_{верт}}{S_{к}}$ (7)

Если определение вертикальной составляющей сил не представляет больших затруднений, особенно для статического случая загружения [15], то площадь контакта является величиной, зависящей от деформаций грунта (Рис. 1).

 

Рис. 1. Схема взаимодействия вальца катка с грунтом (контактные напряжения приведены для статического режима)

Fig. 1. Scheme of interaction between the roller and the soil (contact stresses are given for static mode)

 

Теория Герца-Беляева позволяет определять контактные напряжения без вычисления площади контакта. Это достигается за счет использования в зависимостях прочностной характеристики грунта (E₀), которая отвечает за осадку под нагрузкой.

Рассмотрим детально формулы (1)–(3) и (5), (6). Формула (1) является прямым следствием теории Герца-Беляева и позволяет определять контактные напряжения от статической нагрузки. Получаемые значения соответствуют наибольшему контактному напряжению на границе валец-грунт. Преимуществом формулы является ее простота и высокая степень достоверности. Расхождения с экспериментальными данными находятся в пределе 5% [7]. Однако при этом результат вычислений представляет собой пиковые значения контактных напряжения на границе валец-грунт и не описывает зависимость контактных напряжений в точке на поверхности грунта от времени.

Формула (5) учитывает воздействие тягового усилия на уплотняемый слой. Тяговое усилие возникает только в том случае, когда валец является ведущим. Динамическая составляющая не учитывается, соответственно воздействие рассчитывается от прохода катка в статическом режиме. Однако влияние тягового усилия невелико даже для статического режима [12]. В случае включенного вибрационного режима учет тягового усилия влияет еще слабее, но при этом добавляет в зависимость неизвестные переменные, требующие дополнительных объемных расчетов и еще одного набора исходных данных.

Формула (3) является модернизированным видом формулы (1). Учтем, что формула (1) применима для статического воздействия вальца, а формула (3) предлагается для вибрационного режима работы катка. Отличие заключается в учете подрессоренной массы рамы, приходящейся на валец катка – как статического воздействия; и в учете произведения массы вальца на коэффициент эффективности – как вибрационного воздействия. Коэффициент эффективности позволяет произвести переход от виброкатка меньшей массы к статическому катку большей при условии равенства уплотняющей способности. Таким образом зависимость (3) не отражает реальных контактных напряжений под вальцом виброкатка, показывая контактные напряжения под вальцом статического катка со сходной уплотняющей способностью. К тому же выражение (3) не имеет зависимости от времени, позволяя определять лишь амплитудные напряжения.

Выражение (6), также являющееся модернизированным видом выражения (1) уже содержит зависимость контактного напряжения от времени, однако все равно по своей сути определяет контактное напряжение от статического катка с эквивалентной уплотняющей способностью. Еще одним недостатком является отсутствие разделения общего воздействия машины на статическую составляющую и вибрационную составляющую, возникающую вследствие действия возбуждающей силы.

Выражение (2) составлено без использования коэффициента эффективности (K_Э), что позволяет прямо учесть вклад возбуждающей силы (P) в суммарное контактное напряжение. Коэффициент превышения (k_пр) зависит от величины возбуждающей силы и меняется в пределах от 5 до 3 [7], но учитывая наличие множителя величиной 0,5 влияние k_пр уменьшается. Рассмотрим значимость k_пр оставив из составляющих выражения (2) только две величины – множитель 0,5 и k_пр:

$\mathrm{0,5}\cdot \sqrt{k_{пр}}=\mathrm{0,5}\cdot \sqrt{\left[3-5\right]}=\left[\mathrm{0,87}-\mathrm{1,12}\right]$ (8)

Коэффициент превышения отражает влияние инерционных сил на изменения контактных давлений за счет колебания дебаланса.

Выражение (4) единственное не опирается на теорию Герца-Беляева. Площадь контакта находится как произведение ширины вальца на длину дуги его контакта с уплотняемой средой. Длина дуги определяется величиной угла α₀ и радиусом вальца. Угол α₀ зависит от глубины осадки вальца в грунт. Глубина осадки вальца определяется изменением коэффициента уплотнения за один проход катка [11]. Соответственно для определения контактного напряжения необходимо знать изменение плотности по результату каждого прохода. Для получения таких данных необходимо либо проводить полевые измерения в процессе уплотнения, либо основываться на модели процесса уплотнения грунта катком. Таким образом, данная зависимость непригодна для определения контактных напряжений в ходе моделирования процесса уплотнения.

Стоит отметить, что в зарубежных исследованиях распространен метод конечно-элементного моделирования (FEM). Этот подход не требует определения контактных напряжений – достаточно найти результирующую величину всех сил, действующих в вертикальном направлении.

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ВКЛАДА ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ

Общую нагрузку, действующую на грунт, можно разложить на составляющие: нагрузку от статического воздействия вальца и нагрузку от вибрационной составляющей. Тогда, согласно методу суперпозиции, найдем контактное напряжение под вальцом вибрационного катка:

${\sigma }_{к}={\sigma }_{стат}+{\sigma }_{вибр},$ (9)

На основе анализа методик, приведенного выше, определим контактные напряжения при уплотнении грунта катком в статическом режиме. Наиболее рациональной для расчета является зависимость (1), предложенная Н.Я. Хархутой. Ее недостатком является отсутствие связи контактных напряжений со временем. Определим закон, по которому контактные напряжения от статической нагрузки изменяются во времени.

Рассмотрим точку А на поверхности грунта (Рис. 1). В исходной позиции точка удалена от вальца, каток движется в ее сторону. На следующем этапе точка входит в зону воздействия вальца. Этот момент времени принимается за начальный (t₀):

$t_0=\mathrm{0,}$ (10)

При дальнейшем движении катка контактные напряжения от статической составляющей нарастают вплоть до амплитудных значений σ_{стат ампл}. Амплитудные контактные напряжения определяются в соответствии с выражением (1):

${\sigma }_{стат}=\sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}},$ (9)

Можно считать, что изменение контактных напряжений от статической нагрузки происходит линейно [7, 9, 10]. Наибольшие напряжения соответствуют моменту времени перед разгрузкой грунта и совпадают с вертикальной осью вальца [7] (Рис. 1) – причина асимметричности эпюры контактных давлений в наличии тягового усилия, сдвигающего давление от центра вальца к его краю.

На Рис. 1 изображена схема взаимодействия вальца с грунтом. Грунт, обладая свойствами вязкого тела, демонстрирует отставание развития деформаций от развития контактных напряжений. То есть максимальные деформации наступают уже после окончания действия максимальных контактных напряжений.

С учетом смещения эпюры контактных напряжений в сторону движения катка и отставания деформаций от напряжения можно считать, что контактные напряжения распределяются между точкой начала контакта грунта с вальцом и вертикальной осью вальца (Рис. 1).

Н.Я. Хархута приводит зависимость, описывающую величину хорды b, стягивающей точки контакта вальца с грунтом [7]:

$b=4\cdot \sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}$ (12)

Выражение (12) позволяет определить площадь контакта. Следует отметить, что зависимость (12) предполагает расчет в кгс/см, см и кгс/см². Причина этого – эмпирически определенный коэффициент 4, не имеющий размерности и, как следствие, не учитывающий возможности численного решения выражения (12) в размерностях, отличающихся от выше приведенных. Результат расчета выражен в сантиметрах (см).

Рассмотрим треугольник OBC (Рис. 2). Найдем угол как удвоенную величину угла β', а угол β' определим из прямоугольного треугольника OBK.

 

Рис. 2. Схема к определению геометрических параметров процесса уплотнения

Fig. 2. Scheme for determining the geometric parameters of the compaction process

 

Тогда:

$\mathrm{\beta }=2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)$ (13)

Величина угла β определена в радианах. Зная радиус вальца, найдем длину дуги на границе контакта вальца с грунтом:

$L_{дугиBC}=R\cdot 2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)$ (14)

Возбуждающая сила, вызывающая вибрации, возникает благодаря вращению дебаланса [1, 3, 4, 8] и для конкретного момента времени находится как:

$P\left(t\right)=P_{ампл}\cdot sin\left(2\mathrm{\pi }\cdot f\cdot t\right)$ (15)

P_ампл зависит от параметров дебаланса и либо указывается в технической документации машины (например, как центробежная сила), либо может быть определена из зависимости:

$P_{ампл}=\mathrm{39,4}\cdot m_{д}\cdot r_{д}\cdot f^2$ (16)

Контактные напряжения от вибрационного воздействия найдем согласно выражению (7):

${\sigma }_{вибр}\left(t\right)=k_{пр}\cdot \frac{P\left(t\right)}{B\cdot L_{дугиBC}}=k_{пр}\cdot \frac{P_{ампл}\cdot sin\left(2\pi \cdot f\cdot t\right)}{B\cdot 2R\cdot \arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)}$ (17)

Контактные напряжения от статической составляющей так же зависят от времени. Как уже отмечалось ранее, амплитудные значения наступают в точке A (Рис. 1) в момент прохождения над этой точкой вертикальной оси вальца. Соответственно скорость изменения величины контактных напряжений в точке А прямо зависит от скорости поступательного движения катка.

Найдем длину горизонтальной проекции хорды b. Для этого рассмотрим треугольники OBC и BCD (Рис. 2). Искомый катет BD составляет:

$BD=b\cdot \cos (\alpha \text{'})$ (18)

Угол (градусы) можно определить с помощью треугольника OBC:

$\alpha \text{'}={90}^{\circ }-\alpha$ (19)

$\alpha =\frac{{180}^{\circ }-\mathrm{\beta }}{2}$ (20)

Угол β (радианы) вычислен ранее с помощью зависимости (13). Тогда угол α' (радианы) будет равен:

$\alpha \text{'}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }-2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)}{2}=\mathrm{0,5}\cdot \left(2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)\right)$ (21)

Катет BD определяется выражением:

$BD=b\cdot \cos \left(\mathrm{0,5}\cdot \left(2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)\right)\right)$ (22)

Длина катета BD соответствует расстоянию, которое проходит каток нагружая точку А на пространстве грунта. В начальный момент времени (t₀) точка А находится на правой границе эпюры контактных напряжений (Рис. 1), напряжения равны нулю. В конечный момент времени (t_общ) точка А находится на левой границе эпюры контактных напряжений (Рис. 1), напряжения максимальны.

Общее время воздействия вальца на грунт за один проход зависит от скорости движения катка:

$t_{общ}=\frac{BD}{v}=\frac{b\cdot \cos \left(\mathrm{0,5}\cdot \left(2\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)\right)\right)}{v}$ (23)

Из подобия треугольников определим значение контактных напряжения от статической составляющей в точке А в момент времени t (Рис. 1):

${\sigma }_{стат}\left(t\right)={\sigma }_{статампл}\cdot \frac{t}{t_{общ}}=\sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}\cdot \frac{t\cdot v}{b\cdot \cos \left(\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)\right)}$ (24)

Подстановка значения b в выражение (24) не правомерна из-за эмпирического характера b, сказывающегося на размерности (см. выражение (12)).

В соответствии с равенством (9) запишем выражение, определяющее значение контактных напряжений от статического и вибрационного воздействий одновременно в зависимости от времени. Учтем так же, что линейное давление по ширине вальца q определяется отношением веса катка, приходящегося на валец, к ширине вальца. Подставим значение b в слагаемое, отвечающее за динамическое воздействие:

${\sigma }_{к}\left(t\right)=\sqrt{\frac{q\cdot E_0}{R}}\cdot \frac{t\cdot v}{b\cdot \cos \left(\arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)\right)}+k_{пр}\cdot \frac{P_{ампл}\cdot sin\left(2\mathrm{\pi }\cdot f\cdot t\right)}{B\cdot 2R\cdot \arcsin \left(\frac{\mathrm{0,5}b}{R}\right)}$ (25)

Выражение (25) имеет граничные условия. Контактные напряжения в точке А развиваются только в период движения вальца катка над ней – во все остальное время контактные напряжения равны нулю. Граничные условия задаются зависимостью (26):

$t_0\le t\le t_{общ}$ (26)

С учетом граничных условий общие контактные напряжения определяются системой выражений:

${\mathrm{\sigma }}_{к}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\text{Выражение }\left(25\right),\text{ если выражение }\left(26\right)\text{ соблюдается }\\ \mathrm{0,}\text{ если выражение }\left(26\right)\text{ не соблюдается}\end{array}\right.$

Коэффициент превышения k_пр зависит от соотношения возбуждающей силы и веса, приходящегося на валец [7]:

$k_{пр}=-\mathrm{0,2016}\frac{P}{Q}+\mathrm{5,3332}$ (27)

СОПОСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА С ДРУГИМИ ИССЛЕДОВАНИЯМИ

Для оценки адекватности полученной зависимости (25) проведено сравнение с зависимостями (1)–(3), (6). Зависимости (5) и (4) не рассматриваются, так как результат вычислений зависимости (5) имеет малые отклонения от результата вычисления выражения (1), а зависимость (4) требует для ее численного решения иметь набор входных данных, получаемых в результате полевого измерения осадки грунта в процессе уплотнения.

Для численного решения задачи различными методами выбран каток HAMM 3516 со следующими характеристиками (Табл. 2):

 

Таблица 2. Технические характеристики гладковальцового катка HAMM 3516

Table 2. Technical specifications of the HAMM 3516 smooth drum roller

Параметр	Соответствующая переменная	Численное значение
Масса, приходящаяся на валец	M, кг	9305
Частота колебаний	f, Гц	40
Амплитудная возбуждающая сила	Pампл, кН	215
Ширина вальца	B, мм	2140
Радиус вальца	R, мм	752
Рабочая скорость, принятая при расчете	ν, км/ч	2
Коэффициент превышения	kпр	4,86
Подрессоренная масса рамы	qпод, кг	4485
Вертикальная составляющая тягового усилия	T, кН	7

 

В качестве уплотняемой среды назначен песчаный грунт с коэффициентом плотности (по методу стандартного уплотнения РосДорНИИ) 0,85, что соответствует начальному этапу уплотнения после доставки грунта автомобилями-самосвалами и его распределения бульдозерами. Модуль деформации (E₀) составляет 20 МПа.

Результат численного эксперимента представлен на Рис. 3.

 

Рис. 3. Сопоставление контактных напряжений в зависимости от времени при использовании различных методик

Fig. 3. Comparison of contact stresses over time when using different methods

 

Из рисунка Рис. 3 видно, что контактные напряжения, рассчитанные по предложенной выше зависимости, могут принимать отрицательные значения. Так как грунт не воспринимает растягивающие напряжения, то отрицательные контактные напряжения невозможны [16, 17]. Необходимо ввести дополнительные граничные условия:

${\mathrm{\sigma }}_{к}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\text{Выражение }\left(25\right),\text{ если выражение }\left(25\right)\text{ > 0 }\\ \mathrm{0,}\text{ если выражение }\left(25\right)\le \text{ 0}\end{array}\right.$

На Рис. 4 показана откорректированная зависимость контактных напряжений от времени. Для сравнения на Рис. 4 представлены результаты расчета по выражениям, предложенные Н.Я. Хархутой.

 

Рис. 4. Сопоставление контактных напряжений в зависимости от времени при использовании различных методик

Fig. 4. Comparison of contact stresses over time when using different methods

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе приведены различные методы определения контактных напряжений. Так как контактные напряжения вызваны перемещающимся объектом – вальцом катка, то необходим учет изменения величины контактных напряжений во времени.

Методики, не отражающие временной характер нагружения, не могут в полной мере дать оценку воздействия рабочего органа на грунт. В соответствии с рисунком 3 характер нагрузки является циклическим.

Существующие методики, использующие переменную времени, не учитывают характер движения катка и, как следствие, постепенное возрастание доли статической нагрузки в общем напряжении.

Следует обратить внимание, что ряд авторов использует переменную K_Э для перехода от теоретических выкладок Герца-Беляева, разработанных для случая статического нагружения, к вибрационному нагружению. Однако эта переменная показывает, во сколько раз меньшей массой может обладать вибрационный каток по отношению к статическому без потери уплотняющей способности. Физический смысл K_Э не связан с контактным напряжением, а сама величина K_Э зависит от гранулометрического состава грунта. Результатом использования данной переменной для перехода к вибрационной нагрузке является излишнее завышение контактных напряжений (для случая уплотнения песка) или же занижение (для случая уплотнения глин). Столь значительные отклонения расчетных значений от фактических (данные Н.Я. Хархуты, подтвержденные экспериментами, можно принять за фактические) не позволяют оценить режим работы катка с точки зрения соблюдения рационального диапазона контактных напряжений (близких к пределу прочности, но не превышающих его).

Предложенная методика расчета учитывает фактор времени как в отношении поступательного перемещения вальца вдоль уплотняемой полосы, так и в отношении вибрационного воздействия. Учет инерционных сил производится за счет использования коэффициента превышения. Кроме того, принимается во внимание свойство грунта – отрицательные напряжения не возникают. Результат расчетов коррелирует с зависимостями Н.Я. Хархуты, выведенными для амплитудных значений напряжений. Вышеперечисленное говорит о применимости методики для определения контактных напряжений в любой момент времени на границе грунт-валец при работе катка в режиме вибрации.

Авторы заявляют что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

The authors state that:

1. They have no conflict of interest;
2. This article does not contain any studies involving human subjects.

About the authors

Nikita A. Fedoseev

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: fedoseev.na@edu.spbstu.ru
ORCID iD: 0000-0001-6104-9674
SPIN-code: 6857-7057

graduate student

Russian Federation, St. Petersburg

Nikolaj A. Ermoshin

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Email: ermonata@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0367-5375
SPIN-code: 6694-8297

Doctor of Military Sciences, professor

Russian Federation, St. Petersburg

Sergey V. Alekseev

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Email: sergeyaleks1966@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8632-3852
SPIN-code: 6013-0312

Candidate of Military Sciences, associate professor

Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files