Method of forecasting the durability of road structures

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

 Развитие дорожной инфраструктуры, а также сохранение, поддержание и повышение технического уровня и эксплуатационного состояния существующей дорожной инфраструктуры является важной задачей. Для успешной реализации, сбалансированных по времени и выделяемым ресурсам перспективных программ содержания и развития дорожной инфраструктуры необходимо учитывать опыт разработки проектных решений по строительству и эксплуатации автомобильных дорог и искусственных сооружений [1–4]. Практика показывает, что зачастую межремонтные сроки службы дорожных и мостовых конструкций оказываются ниже проектных или нормативных [3–8]. В результате работа автомобильных дорог становится небезопасной, а преждевременное разрушение конструктивных элементов дорожных конструкций и сооружений является причиной дорожно-транспортных происшествий, аварий и катастроф [9–14]. По данным «НЦ БДД МВД России» ежегодно более 30 % ДТП связано с недостатками эксплуатационного состояния и обустройства улиц и дорог [15–17]. Подобные ситуации могут происходить из-за ошибок при проектировании, несоблюдения технологий выполнения работ по строительству, содержанию и ремонту, а также превышения расчетных параметров состава и интенсивности дорожного движения. Это приводит к преждевременному отказу дорожных и мостовых конструкций, что влечет причинение вреда жизни, здоровью и имуществу участников дорожного движения, окружающей среде, вызывает значительные экономические ущербы.

Вопросы повышения надежности и долговечности дорожных сооружений являются актуальными. Исследованию процессов снижения надежности работы автомобильных дорог и дорожных конструкций посвящены работы И.А. Золотаря, В.Д. Казарновского, В.К. Апестина, А.И. Васильева, Е.В. Угловой и др. [2–14, 18–22].

Для исключения или смягчения последствий отказов в работе автомобильных дорог необходимо своевременно выполнять мероприятия по поддержанию их параметров на уровне, обеспечивающем безопасную эксплуатацию. В связи с этим весьма важно иметь возможность расчета остаточного срока безопасной эксплуатации дорожных и мостовых конструкций с учетом расхода ресурсов (выделяемых средств) на поддержание их в работоспособном состоянии. Другими словами, необходим способ расчета остаточного ресурса дорожных и мостовых конструкций при ограничениях на выделяемые средства на их содержание и ремонты.

МЕТОДЫ

Рассмотрим математическую постановку задачи по определению остаточного срока службы (долговечности) дорожных и мостовых конструкций. При этом под их долговечностью будем понимать свойство, позволяющее сохранять требуемые транспортно-эксплуатационные показатели автомобильной дороги при заданных условиях эксплуатации, содержания и ремонта в течение определенного времени.

Пусть имеется дорожная или мостовая конструкция, представляющая собой инженерное сооружение, которое характеризуется совокупностью параметров R_n , n = 1,…, k , где k- количество параметров. Каждый из этих параметров имеет требуемое номинальное значение . Изменение этих параметров во времени характеризует состояние дорожной или мостовой конструкции. В период работы автомобильной дороги происходит снижение значений параметров дорожных или мостовых конструкций в результате физического износа конструктивных элементов. То есть, в определенный момент времени t_i , i=1,…,m , значения параметров конструкций не увеличиваются, а остаются на прежнем уровне или уменьшаются R_n (t₁) > R_n (t₂),…, > R_n (t_m), при условии, что t₁ < t₂,…,< t_m. Конструкция является работоспособной если значения параметров, обеспечивающих ее работоспособность принадлежат области допустимых значений Q_n, границы которой определяется минимальным R_n,min и максимальным R_n,max значениями $Q_n=R_{n,\min }<R_n^0<R_{n,max}$. Допускается, что выход значения параметра за пределы допустимой области приводит к параметрическому отказу конструкции. Однако параметрический отказ не влечет за собой утрату функций всей дорожной или мостовой конструкции. В действительности такой отказ лишь снижает ее работоспособность. Вероятность внезапного отказа в работе сразу всей конструкции достаточно мала. Вместе с тем дорожным и мостовым конструкциям свойственны параметрические отказы. Их последствия устраняются в процессе содержания и ремонтов дорожных сооружений. Исходя из этого автомобильная дорога и дорожные сооружения относится к восстанавливаемым техническим системам с множеством возможных состояний $S_n\left(t\right)=\left\{s_0\left(t\right),s_1\left(t\right)\mathrm{,...,}{s}_{m-1}\left(t\right),s_m\left(t\right)\right\}$.

Дорожная конструкция может находиться в состоянии s₀(t), при котором ни один из параметров не вышел за границы (не отказал) области допустимых значений; s₁(t) - вышел за границы (отказал) один параметр; s_m(t) - вышли за границы (отказали) все параметры. Поскольку дорожная или мостовая конструкция имеют определенный характер износа или последовательность деградации предполагается, что процесс смены ее состояний происходит упорядоченно: s₀(t), s₁(t), s₂(t),…, s_m(t). Соответственно переход конструкции из одного в другое состояние является случайным событием. Известна или может быть спрогнозирована интенсивность λ_n выхода за границы допустимой области изменения параметра R_n . Предполагается, что эта интенсивность одинакова для всех параметров, характеризующих работоспособность конструкции. Такие же допущения приняты в отношении интенсивности восстановления параметров μ_n . Допускается, что поток отказов параметров является простейшим, а функции плотности отказа и восстановления параметров являются показательными с параметрами λ и μ.

Суммарные затраты ресурсов на поддержание дорожной или мостовой конструкции в момент времени t в состоянии S_n(t) будут равны Z_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$. Известен средний расход ресурсов (норматив) на восстановление каждого параметра ΔZ_n,восст и на поддержание в период эксплуатации ΔZ_экспл .

Требуется определить долговечность дорожной или мостовой конструкции с учетом ограничений на выделяемые ресурсы на поддержание их в работоспособном состоянии.

Решение сформулированной задачи предусматривает выполнение следующих действий.

1. Расчет расхода материальных ресурсов на поддержание конструкции в любом возможном состоянии s_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$.

Для этого вначале рассматривается состояние конструкции s₀(t), при котором она в момент времени t + Δt , при котором она будет работать безотказно по всем определяющим параметрам. В соответствии с основными теоремами теории вероятностей такое состояние конструкции характеризуется суммой двух несовместных событий θ₀ и θ₁.

Событие θ₀ соответствует состоянию конструкции s₀(t), при котором за время Δt все ее параметры находились в области допустимых значений. Вероятность такого события может быть рассчитана по формуле:

$P\left({\text{θ}}_0\right)=e^{-\text{λ}\Delta t}\approx 1-\text{λ}\Delta t$.

Тогда расход ресурсов для этого состояния конструкции с вероятностью P(θ₀) можно определить по зависимости:

$Z\left({\text{θ}}_0\right)=\left(Z_0\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\Delta t\right)\left(1-\text{λ}\Delta t\right)$ (1)

В свою очередь событие θ₁ соответствует состоянию конструкции s₁(t), при котором за время Δt было восстановлено значение одного нарушенного параметра. Такое состояние конструкции может быть определено вероятностью $P\left({\text{θ}}_1\right)=1-e^{-\text{μ}\Delta t}\approx \text{μ}\Delta t$. В этом случае расход ресурсов с вероятностью P(θ₁) составит:

$Z\left({\text{θ}}_1\right)=Z_1\left(t\right)\text{μ}\Delta t$ (2)

Исходя из приведенных суждений, состояние конструкции s₀(t) предполагается интерпретировать как сумму несовместных событий θ₀ и θ₁. Тогда уравнение для случайной функции расхода материальных средств будет иметь следующий вид

$Z_0(t+\Delta t)=Z\left({\text{θ}}_0\right)+Z\left({\text{θ}}_1\right)=\left(Z_0\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\Delta t\right)\left(1-\text{λ}\Delta t\right)+Z_1\left(t\right)\text{μ}\Delta t$ (3)

Это уравнение можно преобразовать к следующему виду

$Z_0(t+\Delta t)-Z_0\left(t\right)=-\text{λ}\Delta t{Z}_0\left(t\right)+\text{μ}\Delta t{Z}_1\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\Delta t-\text{λ}\Delta t^2\Delta Z_{\text{экспл}.}$ (4)

В результате деления всех частей этого равенства на Δt и определения предела получившегося выражения при Δt → 0 получается дифференциальное уравнение

$\frac{d{Z}_0\left(t\right)}{dt}=-\text{λ}{Z}_0\left(t\right)+\text{μ}{Z}_1\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}$ (5)

Далее составляются аналогичные уравнения расхода материальных ресурсов на поддержание конструкции в состоянии s_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$. Следует заметить, что состояние конструкции s_n(t) состоит в отказе n параметров к текущему моменту времени ее работы t + Δt . Подобное состояние в терминах теории вероятностей можно описать как сумму трех несовместных событий θ_n , θ_n+1, θ_n-1.

Событие θ_n соответствует такому состоянию конструкции s_n(t), при котором за время Δt не отказал и не восстановился ни один параметр. Чтобы определить вероятность такого события можно воспользоваться следующей зависимостью

$P\left({\text{θ}}_n\right)=e^{-\text{λ}\Delta t}{e}^{-\text{μ}\Delta t}\approx 1-\left(\text{λ+μ}\right)\Delta t$ (6)

Для поддержания конструкции в таком состоянии расход материальных ресурсов с вероятностью P(θ_n) может быть рассчитан по формуле

$Z\left({\text{θ}}_n\right)=\left(Z_n\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл.}}\Delta t\right)\left(1-\left(\text{λ+μ}\right)\Delta t\right)$ (7)

Событие θ_n+1 характеризует состояние конструкции s_n+1(t) в момент времени t , при котором за время Δt был восстановлен один ее параметр. Определение вероятности этого события осуществляется по формуле

$P\left({\text{θ}}_{n+1}\right)=1-e^{-\text{μ}\Delta t}\approx \text{μ}\Delta t$, (8)

а расход материальных ресурсов с вероятностью P(θ_n+1) по формуле

$Z\left({\text{θ}}_{n+1}\right)=Z_{n+1}\left(t\right)\text{μ}\Delta t$ (9)

Событие θ_n-1 определяется тем, что в момент времени t за время Δt отказал еще один параметр конструкции. Для расчета вероятности этого события воспользуемся выражением

$P\left({\text{θ}}_{n-1}\right)=1-e^{-\text{λ}\Delta t}\approx \text{λ}\Delta t$ (10)

При этом расход материальных ресурсов с вероятностью P(θ_n-1) можно определить из выражения

$Z\left({\text{θ}}_{n-1}\right)=Z_{n-1}\left(t\right)\text{λ}\Delta t$ (11)

Расход материальных ресурсов на поддержание конструкции в состоянии s_n(t), которое характеризуется суммой рассмотренных несовместных событий θ_n , θ_n+1, θ_n-1 определяется из уравнения для случайной функции

$\begin{array}{c}{Z}_n(t+\Delta t)=Z\left({\text{θ}}_n\right)+Z\left({\text{θ}}_{n+1}\right)+Z\left({\text{θ}}_{n-1}\right)=\\ =\left(Z_n\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\Delta t\right)\left(1-\left(\text{λ+μ}\right)\Delta t\right)+Z_{n+1}\left(t\right)\text{μ}\Delta t+Z_{n-1}\left(t\right)\text{λ}\Delta t\end{array}$ (12)

После деления всех частей этого равенства на Δt и определения предела получившегося выражения при Δt → 0 получим дифференциальное уравнение

$\frac{d{Z}_n\left(t\right)}{dt}=\text{λ}{Z}_{n-1}\left(t\right)-(\text{λ}+\text{μ})Z_n\left(t\right)+\text{μ}{Z}_{n+1}\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{\text{восст}.}$ (13)

На следующем этапе составляется уравнение состояние конструкции s_m(t), при котором к t + Δt отказали все определяющие ее работоспособность параметры. Оно определяется суммой несовместных событий θ_m , θ_m-1.

Событие θ_m означает то, что конструкция будет в состоянии s_m(t) и за время Δt не было отказа ни по одному определяющему параметру. Тогда вероятность события θ_m может быть рассчитана по формуле

$P\left({\text{θ}}_m\right)=e^{-\text{μ}\Delta t}\approx 1-\text{μ}\Delta t$

Следовательно, расход материальных ресурсов на поддержание конструкции в этом состоянии с вероятностью P(θ_m) может быть выражен зависимостью

$Z\left({\text{θ}}_m\right)=\left(Z_m\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл.}}\Delta t\right)\left(1-\text{μ}\Delta t\right)$ (14)

Событие θ_m-1 соответствует состояние конструкции s_m-1(t), при котором за время Δt за пределы области допустимых значений $Q_n=R_{n,\min }<R_n^0<R_{n,max}$ вышел еще один параметр. Событие θ_m-1 произойдет с вероятностью $P\left({\text{θ}}_{m-1}\right)=1-e^{-\text{λ}\Delta t}\approx \text{λ}\Delta t$.

Расход материальных ресурсов для поддержания конструкции в состоянии s_m-1(t) определяется следующим образом:

$Z\left({\text{θ}}_{m-1}\right)=Z_{m-1}\left(t\right)\text{λ}\Delta t$ (15)

Поскольку состояние конструкции s_m(t) определяется суммой несовместных событий θ_m и θ_m-1, то уравнение расхода материальных ко времени t + Δt будет иметь вид

$\begin{array}{c}{Z}_m(t+\Delta t)=Z\left({\text{θ}}_m\right)+Z\left({\text{θ}}_{m-1}\right)=\\ =\left(Z_m\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\Delta t\right)\left(1-\text{μ}\Delta t\right)+\left(Z_{m-1}\left(t\right)+Z_{n,\text{восст}.}\right)\text{λ}\Delta t\end{array}$ (16)

После преобразований, аналогичных (5) и (13) получается дифференциальное уравнение

 $\frac{d{Z}_m\left(t\right)}{dt}=\text{λ}{Z}_{m-1}\left(t\right)-\text{μ}{Z}_m\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{\text{восст}.}$ (17)

2. Формирование системы дифференциальных уравнений для определения расхода материальных ресурсов на поддержание конструкции в состоянии s_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$ при неизвестных случайных функциях расхода материальных средств Z_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$.

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{Z}_0\left(t\right)}{dt}=-\text{λ}{Z}_0\left(t\right)+\text{μ}{Z}_1\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \frac{d{Z}_n\left(t\right)}{dt}=\text{λ}{Z}_{n-1}\left(t\right)-(\text{λ}+\text{μ})Z_n\left(t\right)+\text{μ}{Z}_{n+1}\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{\text{восст}.}\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \frac{d{Z}_m\left(t\right)}{dt}=\text{λ}{Z}_{m-1}\left(t\right)-\text{μ}{Z}_m\left(t\right)+\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{\text{восст}.}\end{array}\right.$  (18)

3. Решение системы дифференциальных уравнений (18).

Запишем систему уравнений (18) в операторной форме

 $A\left(p\right)X\left(p\right)=B^{\left(z\right)}\left(p\right)$ (19)

где A(p) - матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (m+1) ×(m+1)

$A=\left[\begin{array}{cccccc}-\left(p+\text{λ}\right)& \text{μ}& 0& \cdots & 0& 0\\ \text{λ}& -\left(p+\text{λ+μ}\right)& \text{μ}& \cdots & 0& 0\\ 0& \text{λ}& -\left(p+\text{λ+μ}\right)& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& \text{λ}& \cdots & 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& \cdots & -\left(p+\text{λ+μ}\right)& \text{μ}\\ 0& 0& 0& \cdots & \text{λ}& -\left(p\text{+μ}\right)\end{array}\right]$

X(p) - вектор, компоненты x_n(p) которого являются значениями функций Z_n(t), $n=\overline{\mathrm{0,...,}m}$;

$B^{\left(z\right)}\left(p\right)$ - вектор правых частей системы дифференциальных уравнений (18);

$X\left(p\right)=\left[\begin{array}{c}{\text{θ}}_0\left(p\right)\\ {\text{θ}}_1\left(p\right)\\ {\text{θ}}_2\left(p\right)\\ {\text{θ}}_3\left(p\right)\\ \cdots \\ {\text{θ}}_{m-1}\left(p\right)\\ {\text{θ}}_m\left(p\right)\end{array}\right],B^{\left(z\right)}\left(p\right)=\left[\begin{array}{c}-\frac{\Delta Z_{\text{экспл}.}}{p}\\ -\frac{\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{восст.}}{p}\\ \cdots \\ -\frac{\Delta Z_{\text{экспл}.}+\text{λ}\Delta Z_{восст.}}{p}\end{array}\right]$

p – комплексная переменная в области существования функций Z_n(t).

В соответствии с [10] найдем оценку $\dot{X}\left(p\right)$ вектора X(p). Для этого используем процедуру оценки матричных коэффициентов многофакторной модели регрессионного анализа.

Упрощая систему (18) за счет исключения переменной p запишем ее в виде

${\sum }_{n+1}^{m+1}{A}_n{X}_n=B^{\left(z\right)}$ (20)

где A_n - блоки матрицы A= A₁ ∙ A₂ ∙ …∙ A_n ∙ …∙ A_m+1;

X_n - блоки транспортированной матрицы X= X₁ ∙ X₂ ∙ …∙ X_n ∙ …∙ X_m+1.

Сформируем выражения для блоков матриц A и X

$\begin{array}{l}{A}_1=\left[\begin{array}{c}-(p+\text{λ})\\ \text{λ}\\ O_{m-1}\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{c}\text{μ}\\ -(p+\text{λ+μ})\\ \text{λ}\\ O_{m-2}\end{array}\right],A_n=\left[\begin{array}{c}{O}_{n-2}\\ \text{μ}\\ -(p+\text{λ+μ})\\ \text{λ}\\ O_{m-n}\end{array}\right]\mathrm{,...,}\\ A_{m+1}=\left[\begin{array}{c}{O}_{m-1}\\ \text{μ}\\ -(p+\text{μ})\end{array}\right]\end{array}$

где O_a - нулевой вектор размерности a.

Тогда неизвестные в системе уравнений (18) могут быть получены из рекуррентного соотношения

 ${\dot{X}}_n={\dot{Z}}_{n-1}=M_n{A}_n{\prod }_{\begin{array}{l}j=1\\ j\ne n\end{array}}^{m+1}{\text{φ}}_j{B}^{\left(z\right)}$, (21)

где $M_n={\left(A_n^T{\prod }_{j=1}^{n-1}{\text{φ}}_j{A}_n\right)}^{-1},{\text{φ}}_j=E-A_j{M}_j{A}_j^T{\prod }_{i=1}^{j-1}{\text{φ}}_i$.

Выполнив обратное преобразование Лапласа для оценок (21), можно найти оригинальные случайные функции расхода материальных средств Z_n(t) на обеспечение пребывания дорожной или мостовой конструкции в состоянии s_n(t). При этом в момент времени t может выйти за область допустимых значений n параметров конструкции $(n=\overline{\mathrm{0,...,}m)}$.

Средний расход материальных средств $\overline{Z}\left(t\right)$ можно определить как математическое ожидание значений случайных функций Z_n(t)

$\overline{Z}\left(t\right)={\sum }_{n=0}^m{Z}_n\left(t\right)P_n\left(t\right)$, (22)

где P_n(t) означает вероятность пребывания конструкции в состоянии s_n(t). По формуле (22) определяется средний расход материальных средств на поддержание конструкции в любом из ее возможных состояний. В случае близости среднего расхода материальных средств $\overline{Z}\left(t\right)$ к моменту времени $t=\dot{t}$ к дополнительному объему материальных средств Z₀, выделяемых на эксплуатацию дорожной или мостовой конструкции можно спрогнозировать остаточный ресурс (долговечность) конструкции

$\dot{t}=\mathrm{argmin}e\left(Z_0-\overline{Z}\left(t\right)\right);t\in T$,  

где T – множество всех возможных значений для t.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Рассмотрим применение методики прогнозирования долговечности дорожных сооружения для оценки остаточного ресурса дорожной конструкции. По данным статистических наблюдений известно параметры отказа дорожной конструкции характеризуются интенсивностью $\text{λ}=5^{-1}$, а восстановления $\text{μ}={14}^{-1}$. Число параметров, характеризующих работу конструкции m = 1.

Эксплуатационные расходы на содержание конструкции составляют ΔZ_экспл = 1000 ед. Средний расход на восстановление отказавшего параметра ΔZ_n,восст= 5000 ед. Требуется определить остаточный ресурс конструкции если для ее содержания выделено Z₀= 50000 ед.

В результате расчета значение остаточного ресурса конструкции составляет 3 года 21 день.

Таким образом, предложенная методика может примениться при планировании работ по эксплуатации автомобильных дорог.

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для обеспечения безопасности на автомобильных дорогах, необходимо своевременно выполнять мероприятия по поддержанию состояния дорожной конструкции в соответствии с заданными условиями эксплуатации. Однако, в условиях ограниченного финансирования выдерживать нормативные требования к транспортно-эксплуатационному состоянию автомобильных дорог и дорожных конструкций не представляется возможным [5].

Предложенный в данной работе метод прогнозирования долговечности дорожных сооружений позволяет рассчитать долговечность дорожной или мостовой конструкции с учетом ограничений на выделяемые ресурсы на их содержание и ремонты. Таким образом, можно планировать сбалансированные по времени и выделяемым ресурсам мероприятия по содержанию и эксплуатации дорожных сооружений.

About the authors

Nikolay A. Ermoshin

Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

Email: ermonata@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0367-5375

Doctor of Military Sciences, Professor

Russian Federation, St. Petersburg

Diana Yu. Kirillova

Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: kirdiana@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3440-2182

Assistant, Civil Engineering Institute

Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files