Design of equi-strength rotating disk

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Вращающиеся диски находят широкое применение в различных отраслях промышленности [1–6]. Характерным примером их использования в транспортном машиностроении являются маховики. В связи с этим, развитию теоретических методов анализа и дизайна вращающихся дисков посвящено большое количество исследований.

Определение осесимметричного напряженно-деформированного состояния для дисков постоянной толщины для различных условий пластичности выполнено в [7]. Однако, в инженерных приложениях часто применяются диски переменной толщины. В большинстве случаев, изменение толщины диска вдоль его радиуса задано. Например, в [8-12] принимается, что изменение толщины подчиняется экспоненциальному закону. В [9] и [10] также используется степенная функция для описания профиля диска. Однако определение профиля равнопрочного диска предполагает, что зависимость толщины диска от радиуса должна быть получена из решения. Общие проблемы дизайна дисков изложены в [11]. Одно из первых решений по определению профиля равнопрочного вращающегося диска без учета давления на радиусах получено в [12]. Дизайн неоднородных равнопрочных дисков, подверженных внешнему и внутреннему давлению, выполнен в [13, 14]. В обеих работах предполагается справедливым условие пластичности Треска. В публикуемой работе разрабатывается и применяется методика определения профиля равнопрочного вращающегося диска, подверженного внутреннему и внешнему давлению. Материал диска подчиняется условию пластичности Мизеса. Решение получено в элементарных функциях. Этому способствует замена радиальной координаты некоторой другой переменной. Такие замены успешно применялись при решении сферически симметричных краевых задач [15–17]. Решение получено в условиях плосконапряженного состояния. Приемлемость этого условия зависит от скорости изменения толщины диска вдоль радиуса. Очевидно, что однозначная количественная оценка применимости условий плосконапряженного состояния невозможна. Предлагаемая методика включает оценку применимости условий плосконапряженного состояния исходя из принятых в литературе критериев [18, 19].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Полый вращающийся диск внутреннего радиуса $a_0$ и внешнего радиуса $b_0$ нагружен равномерными давлениями $P_a$ и $P_b$ по внутреннему и внешнему радиусам, соответственно (Рис.1). Угловая скорость диска равна $\omega$. Угловым ускорением пренебрегаем. Материал диска подчиняется закону Гука и условию пластичности Мизеса. Краевая задача является осесимметричной. Поэтому, целесообразно ввести цилиндрическую систему координат $\left(r,\theta ,z\right)$, ось z которой совпадает с осью симметрии диска. Толщина диска варьируется в радиальном направлении. Однако, предполагается, что плосконапряженное состояние является приемлемой аппроксимацией.

 

Рис. 1. Вращающийся диск, нагруженный внутренним и внешним давлением

 

Компоненты тензора напряжения в цилиндрической системе координат обозначим ${\sigma }_r$, ${\sigma }_{\theta }$ и ${\sigma }_z$ . Эти напряжения являются главными. Поэтому, ${\sigma }_z=0$ в условиях плосконапряженного состояния. Тогда, закон Гука принимает вид

$E{\epsilon }_r={\sigma }_r-\nu {\sigma }_{\theta }$, $E{\epsilon }_{\theta }={\sigma }_{\theta }-\nu {\sigma }_r$, $E{\epsilon }_z=-\nu \left({\sigma }_r+{\sigma }_{\theta }\right).$ (1)

Здесь ${\epsilon }_r$, ${\epsilon }_{\theta }$, ${\epsilon }_z$ - компоненты тензора деформации в цилиндрической системе координат, E – модуль Юнга и $\nu$ - коэффициент Пуассона. Условие пластичности Мизеса в рассматриваемом случае имеет форму

${\sigma }_r^2+{\sigma }_{\theta }^2-{\sigma }_r{\sigma }_{\theta }={\sigma }_0^2.$(2)

Здесь ${\sigma }_0$ - предел пластичности при одноосном растяжении.

Удобно ввести следующие безразмерные величины:

$\begin{array}{c}{s}_r=\frac{{\sigma }_r}{{\sigma }_0},s_{\theta }=\frac{{\sigma }_{\theta }}{{\sigma }_0},\rho =\frac{r}{b_0},a=\frac{a_0}{b_0},p_a=\frac{P_a}{{\sigma }_0},p_b=\frac{P_b}{{\sigma }_0},\\ k=\frac{{\sigma }_0}{E},\Omega =\frac{\upsilon {\omega }^2{b}_0^2}{{\sigma }_0}.\end{array}$ (3)

Здесь $\upsilon$ - плотность материала.

Используя (3), первые два уравнения в (1) преобразуются к виду

${\epsilon }_r=k\left(s_r-\nu s_{\theta }\right),{\epsilon }_{\theta }=k\left(s_{\theta }-\nu s_r\right),$ (4)

а уравнение (2) к виду

$s_r^2+s_{\theta }^2-s_r{s}_{\theta }=1.$ (5)

Учитывая (3), единственное уравнение движения, которое не удовлетворяется автоматически, имеет форму

$\frac{d\left(h\rho s_r\right)}{d\rho }-h\left(s_{\theta }-{\rho }^2\Omega \right)=0.$ (6)

Здесь h – толщина диска. В решении удобно использовать величину:

$t=\ln \left(\frac{h}{h_b}\right).$ (7)

Здесь $h_b$ - толщина диска при $r=b_0$ (или $\rho =1$). Тогда уравнение (6) примет вид

$\rho \frac{dt}{d\rho }+\rho \frac{d{s}_r}{d\rho }+s_r-s_{\theta }+{\rho }^2\Omega =0.$ (8)

Уравнение совместности деформаций в рассматриваемом случае имеет форму:

$\frac{d\left(\rho {\epsilon }_{\theta }\right)}{d\rho }={\epsilon }_r.$ (9)

Используя (3) и (7), граничные условия могут быть сформулированы как

$s_r=-p_b$ (10)

при $\rho =1$ или $t=0$ и

$s_r=-p_a$ (11)

при $\rho =a$ или $t=t_a=\ln \left(h_a/h_b\right)$. Здесь $h_a$ - толщина диска при $r=a_0$ (или $\rho =a$).

Задача дизайна состоит в нахождении профиля равнопрочного диска.

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В РАВНОПРОЧНОМ ДИСКЕ

3.1 Общее решение

В равнопрочном диске условие пластичности выполняется во всем диске. Это условие удовлетворяется стандартной подстановкой:

$s_r=-\frac{2\sin \psi }{\sqrt{3}}$ и $s_{\theta }=-\frac{\sin \psi }{\sqrt{3}}-\cos \psi .$ (12)

Здесь $\psi$ - новая неизвестная функция $\rho$. При этом, $\psi ={\psi }_a$ при $\rho =a$ и $\psi ={\psi }_b$ при $\rho =1$. Подставляя (12) в (8), найдем

$\rho \frac{dt}{d\rho }-\frac{2\rho \cos \psi }{\sqrt{3}}\frac{d\psi }{d\rho }+\cos \psi -\frac{\sin \psi }{\sqrt{3}}+{\rho }^2\Omega =0.$ (13)

Исключая $s_r$ и $s_{\theta }$ в (4) с помощью (12) и подставляя полученные соотношений в (9), приходим к уравнению для определения $\psi$ в виде

$\left[\sin \psi -\frac{\left(1-2\nu \right)\cos \psi }{\sqrt{3}}\right]\frac{\rho d\psi }{d\rho }=\left(1+\nu \right)\left(\cos \psi -\frac{\sin \psi }{\sqrt{3}}\right).$ (14)

Это уравнение позволяет выразить производную $d\psi /d\rho$ как функцию $\rho$. Исключая эту производную в (13), получим:

$\frac{dt}{d\rho }=\frac{{\left(\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi \right)}^2}{\rho \left[\sqrt{3}\sin \psi -\left(1-2\nu \right)\cos \psi \right]}-\rho \Omega .$ (15)

В этом уравнении можно перейти от дифференцирования по $\rho$ к дифференцированию по $\psi$ с помощью (14). Тогда,

$\frac{dt}{d\psi }\left(1+\nu \right)=\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi -{\rho }^2\Omega \frac{\left[\sqrt{3}\sin \psi -\left(1-2\nu \right)\cos \psi \right]}{\left(\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi \right)}.$ (16)

Уравнения (14) и (16) могут быть решены последовательно. В частности, решение уравнения (14), удовлетворяющее условию $\psi ={\psi }_b$ при $\rho =1$, имеет вид:

$\rho =\sqrt{\frac{\sqrt{3}\cos {\psi }_b-\sin {\psi }_b}{\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi }}\exp \left[\frac{\sqrt{3}\left(1-\nu \right)}{2\left(1+\nu \right)}\left({\psi }_b-\psi \right)\right].$ (17)

Исключая $\rho$ в уравнении (16) с помощью (17), найдем

$\begin{array}{c}\frac{dt}{d\psi }\left(1+\nu \right)=\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi -\\ -\Omega \frac{\left(\sqrt{3}\cos {\psi }_b-\sin {\psi }_b\right)\left[\sqrt{3}\sin \psi -\left(1-2\nu \right)\cos \psi \right]}{{\left(\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi \right)}^2}.\end{array}$ (18)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $t=0$ при $\psi ={\psi }_b$, имеет вид:

$\begin{array}{c}t=\frac{\left(\sqrt{3}\sin \psi +\cos \psi -\sqrt{3}\sin {\psi }_b-\cos {\psi }_b\right)}{\left(1+\nu \right)}-\\ \Omega ⟨\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}\left(1-\nu \right)}{2\left(1+\nu \right)}\left(\sqrt{3}\cos {\psi }_b-\sin {\psi }_b\right)\left\{\text{arth}\left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{{\psi }_b}{2}\right)\right)\right]-\text{arth}\left[\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{\psi }{2}\right)\right)\right]\right\}+\\ \frac{\left(\sqrt{3}\cos {\psi }_b-\sin {\psi }_b\right)}{2\left(\sqrt{3}\cos \psi -\sin \psi \right)}-\frac{1}{2}\end{array}⟩\end{array}$ (19)

Это решение совместно с (7) и (17) определяет зависимость толщины равнопрочного диска от радиуса в параметрической форме. Распределение компонент тензора напряжения по радиусу можно найти из (12) и (17) также в параметрической форме. Отсюда следует, что нельзя произвольно задать $p_a$ и $p_b$, входящие в (10) и (11).

3.2. Особое решение

Уравнение (14) имеет особые решения

$\psi ={\psi }_s=\frac{\pi }{3}$ и $\psi ={\psi }_s=-\frac{2\pi }{3}$. (20)

В этих случаях уравнение (15) сводится к

$\frac{dt}{d\rho }+\rho \Omega =0.$ (21)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию $t=0$ при $\rho =1$, имеет вид

$t=\frac{\Omega }{2}\left(1-{\rho }^2\right).$(22)

Из (12) и (20) следует, что компоненты тензора напряжения постоянны во всем диске. В частности, из (10) - (12) получаем

$p_a=p_b=\pm 1$. (23)

Толщина равнопрочного диска определяется из (7) и (22) как

$h=h_b\exp \left[\frac{\Omega }{2}\left(1-{\rho }^2\right)\right].$ (24)

4. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ РЕШЕНИЯ

Предположение о плосконапряженном состоянии приемлемо, если только толщина диска изменяется достаточно плавно. Это условие можно сформулировать как

$\left|\frac{dh}{dr}\right|\le \delta ,$ (25)

где $\delta$ - заданное число. Используя (3) и (7), условие (25) можно представить в виде

$\left|\frac{dh}{h_{b}d\rho }\right|\le \delta \frac{b_0}{h_b}=\Delta$ или $\left|\frac{dt}{d\rho }\right|e^t\le \delta \frac{b_0}{h_b}=\Delta .$ (26)

Обычно принимается, что величина $∆$ может быть равна нескольким десяткам [18, 19].

Рассмотрим особое решение. Подставляя (24) в первое уравнение в (26), получим

$\Omega \rho \exp \left[\frac{\Omega }{2}\left(1-{\rho }^2\right)\right]\le \Delta .$ (27)

Левая сторона этого неравенства достигает максимума при $\rho =1/\sqrt{\Omega }$. Таким образом, максимально возможные значения $\Omega$ определяются из (27) как

$\sqrt{{\Omega }_m}\exp \left[\frac{1}{2}\left({\Omega }_m-1\right)\right]=\Delta$ (28)

при $1\le {\Omega }_m\le 1/a^2$,

${\Omega }_m=\Delta$ (29)

при ${\Omega }_m<1$,

$a{\Omega }_m\exp \left[\frac{{\Omega }_m}{2}\left(1-a^2\right)\right]=\Delta$ (30)

при ${\Omega }_m>1/a^2$. Как отмечено выше, допустимые значения величины $∆$ значительно превышают единицу. В связи с этим, решение (29) не имеет существенного значения для приложений. Иллюстрация решений (28) и (30) представлена на Рис. 2 для нескольких значений $∆$.

 

Рис. 2. Иллюстрация условия применимости особого решения

 

Рассмотрим общее решение. Производная $dt/d\rho$ определяется как функция $\psi$ с помощью (15) и (17). Величина t определяется из (19) тоже как функция $\psi$. Подставляя эти выражения во вторую формулу в (26), можно проверить выполнение неравенства в любой точке диска.

5. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ДИЗАЙН ДИСКА

Уравнение (17) позволяет найти связь между ${\psi }_a$ и ${\psi }_b$. При этом, необходимо иметь ввиду особое решение (20) и величины

$\psi ={\psi }_{с}^{\left(1\right)}=\text{arctg}\frac{\left(1-2\nu \right)}{\sqrt{3}}$ и $\psi ={\psi }_{с}^{\left(2\right)}=\text{arctg}\frac{\left(1-2\nu \right)}{\sqrt{3}}-\pi ,$ (31)

при которых коэффициент при производной в (14) обращается в ноль. Обе величины, ${\psi }_a$ и ${\psi }_b$, должны находиться внутри одного из следующих интервалов: $\left({\psi }_{с}^{\left(2\right)},-2\pi /3\right)$, $\left(-2\pi /3,{\psi }_{с}^{\left(1\right)}\right)$, $\left({\psi }_{с}^{\left(1\right)},\pi /3\right)$, $\left(\pi /3,{\psi }_{с}^{\left(1\right)}+\pi \right)$. Знак производной $d\psi /d\rho$ в каждом из этих интервалов можно найти из уравнения (14). Этот знак позволяет установить какое неравенство, ${\psi }_a>{\psi }_b$ или ${\psi }_a<{\psi }_b$, выполняется в каждом интервале. Общая структура решения показана на Рис. 3.

 

Рис. 3. Общая структура решения уравнения (14)

 

В качестве примера, на Рис. 4 построены зависимости $\psi$ от $\rho$ для нескольких значений ${\psi }_b$ из интервала $\left(\pi /3,{\psi }_{с}^{\left(1\right)}+\pi \right)$. На этом рисунке кривая 1 соответствует ${\psi }_b=\pi /3+.1$, кривая 2 - ${\psi }_b=\pi /3+.2$, кривая 3 - ${\psi }_b=\pi /3+.3$, кривая 4 - ${\psi }_b=\pi /3+.4$, кривая 5 - ${\psi }_b=\pi /3+.5$. Эти и все последующие расчеты выполнены при $\nu =0.3$. С помощью этих расчетов можно определить требуемое давление на внешнем радиусе при заданных давлении на внутреннем радиусе и величине a. Пусть внутренний радиус свободен от напряжений. Тогда, ${\psi }_a=\mathrm{\pi }$. Соответствующая величина ${\psi }_b$ определяется из (17) при заданной величине a. Давление на внешнем радиусе вычисляется по формуле в (12). На рисунке 5 показана зависимость этого давления от a. Предположим, что требуется выполнить дизайн диска при $a=1/2$.

 

Рис. 4. Радиальное распределение значения угла

 

Рис. 5. Зависимость давления на внешнем радиусе от величины a

 

Тогда из решения на Рис. 5 следует, что ${\psi }_b=1.852$ и $s_b=-1.11$. Профиль диска вычисляется из (17) и (19). Этот профиль показан на Рис.6 при $\Omega =5$ На Рис.7 показано распределение величины $q=\left|dt/d\rho \right|e^t$, входящей в (26).

 

Рис. 6. Профиль равнопрочного диска

 

Рис. 7. Иллюстрация условия применимости решения

 

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана методика определения профиля равнопрочного вращающегося диска, материал которого подчиняется условию пластичности Мизеса. Решение получено в элементарных функциях, что оказалось возможным благодаря выбору вспомогательной переменной  в качестве независимой переменной вместо радиальной координаты. Методика включает проверку приемлемости предположения о плосконапряженном состоянии. Приводится пример расчета профиля равнопрочного вращающегося диска.

Разработанная теория может быть использована для дизайна маховиков, широко применяемых в транспортном машиностроении.

БЛАГОДАРНОСТИ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-21-00335).

Авторы заявляют что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

About the authors

Elena A. Lyamina

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: lyamina@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0002-7319-8703
SPIN-code: 6801-0244

PhD, associated professor

Russian Federation, Moscow

Olga V. Novozhilova

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: helgam@bk.ru
ORCID iD: 0000-0002-9361-0478
SPIN-code: 8995-7637

PhD

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files