Оn the issue of the development of permanent magnet suspension systems for transport systems

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Сфера использования магнитного подвеса, в котором левитация экипажа осуществляется с помощью постоянных магнитов (ПМ), установленных как на экипаже, так и на путевом полотне, в основном ограничивается промышленным и низкоскоростным пассажирским транспортом. Однако, возможно использование такого типа магнитного подвеса и при высоких скоростях движения в комбинации с электромагнитным или электродинамическим подвесом. В последнем случае функционирование магнитного подвеса на ПМ предполагается на участках стоянки, разгона и торможения[1]. Весьма интересно предложение по применению магнитной сборки Хальбаха, в этом случае параллельно решается задача обеспечения требуемого уровня магнитного поля в пассажирском салоне экипажа [2].

К наиболее общим требованиям к ПМ, употребляемым в таких системах подвеса, можно отнести следующие: всепогодность, сохранение работоспособности и стабильности характеристик в магнитных полях (в условиях размагничивания) и в широком интервале температур окружающей среды. В свете этих требований наиболее приемлемыми являются ПМ, изготавливаемые из BaFe и SrO∙6Fe₂O₃, из-за их сравнительно низкой стоимости в сочетании с высокими магнитными качествами. Особо следует отметить ПМ на основе редкоземельных элементов, в частности SmCо₅ и NdFeB, обладающих значительно лучшими магнитными характеристиками в сравнении с BaFe.

Известно, что при колебаниях температуры кривая намагничивания вещества ПМ «деформируется» и положение рабочей точки изменяется. По условию обратимости процессов перемагничивания при изменении температуры окружающей среды рабочая точка не должна попадать в зону колена кривой намагничивания или ниже ее. При анализе работоспособности ПМ необходимо помнить, что на них в системе подвешивания размагничивающе воздействуют собственное и внешнее магнитные поля, величина которых зависит от размеров магнитов и их основных магнитных характеристик.

Если рассмотреть ПМ с прямоугольным поперечным сечением с размерами: а и h, то можно определить допустимую величину отношения этих размеровν = а/hс учетом температуры окружающей среды:

$\left|\frac{q(J_r-X_r{H}_{ZBH})}{q{H}_{ZBH}+I_r}\right|\ge tg {\alpha }_{п},$

где J_r – остаточная намагниченность, ${\chi }_r$ – реверсивная восприимчивость магнитного материала, H_ZBH– вертикальная составляющая напряженности внешнего поля, в котором находится ПМ, α_п – предельно допустимый угол наклона линии нагрузки, q–коэффициент, определяемый по формуле q = J/H_ср.ΔV, где H_ср.ΔV – среднее значение напряженности магнитного поля в объеме ΔV [3].

ВЛИЯНИЕ КОНФИГУРАЦИИ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

В системах подвеса, как правило, находят применение многорядные магнитные системы, в которых ПМ в виде магнитных полос работают в режимах отталкивания и притягивания. На Рис. 1 приведены схемы расположения рядов ПМ в магнитных системах: горизонтального (ПМГ) и вертикального типов [4–8].

 

Рис. 1. Магнитные системы горизонтального (а, б) и вертикального типа (в, г)

 

На Рис. 1 б, в, г для уменьшения потоков рассеяния магнитные полосы расположены на ферромагнитных шинах (ФШ).

Для случаев, показанных на Рис. 1 при различных значениях зазора δ и относительного смещения  магнитных систем в каждой элементарной зоне сечения магнитной полосы вектора H_R и I параллельны.

Поэтому результирующую напряженность H_R размагничивающего магнитного поля можно определить следующим образом:

$H_R= \frac{\mathrm{0,95}{J}_r}{x_r·{{\displaystyle \int }}_{i·\text{Δy}}^{\left(i+1\right)·\text{Δy}}dy{{\displaystyle \int }}_{k·\text{Δz}}^{\left(k+1\right)·\text{Δz}}{H}_z·dz}+H_{ZBH}$, (1)

здесь H_ZBH– результирующая напряженность внешнего магнитного поля, создаваемого всеми магнитами, системы, за исключением рассматриваемого, она направлена по оси намагничивания; остальные обозначения поясняются Рис. 2.

 

Рис. 2. Расчетная схема ПМ

 

Работа магнита носит обратимый характер, если выполняется условие:

$\left|H_{Z\text{собств}}+H_{ZBH}\right|\le \left|H_{\text{пер}}\right|$,

где H_{Zсобств} – напряженность собственного размагничивающего поля. В (1) ей отвечает первое слагаемое; H_пер – напряженность магнитного поля, которой соответствует начало перегиба кривой размагничивания.

В рамках линейной постановки при определении напряженности внешнего магнитного поля можно использовать принцип суперпозиции, т.е. суммировать напряженности магнитных полей, создаваемых в рассматриваемой области каждой «заряженной» гранью всех ПМ системы. Результаты расчетов показали, что существуют «опасные» зоны сечения магнитной полосы с точки зрения их размагничивания при значениях зазора δ, равных номинальному. Выявлено, что минимально допустимое значение ν =h/a, определяющее оптимальные размеры магнитов, зависит от величины λ = |H_пер| / J_r.

При переходе от однорядной к многорядной магнитной системе, в которой полярность граней чередуется, существенно возрастает H_R. Однако при установке магнитных полос без чередования полярностей наблюдается и обратный эффект. Например, переход от одной к трем полосам с чередованием полярностей приводит к увеличению H_Rпримерно в 1,5 раза в середине поверхности центрального магнита и к уменьшению H_R в 2 раза при отсутствии чередования полярностей [9].

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПМ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА НЕФЕРРОМАГНИТНУЮ ОСНОВУ, ПРИ СТОЯНКЕ ЭКИПАЖА

Рассматривается случай, когда ПМ установлены на путевом полотне и экипаже.

Электромагнитное взаимодействие ПМ может быть описано с помощью классической теории поля. Предположим, что ПМ имеют прямоугольную форму сечения, а вектор намагниченности постоянен по всему объему магнитов $(J=\text{const)}$.

Рассмотрим простейший пример – пару отталкивающихся ПМ (Рис. 3). Введем в рассмотрение фиктивные магнитные заряды вместо полюсных поверхностей (Рис. 3а). На Рис. 3б – расчетная схема, на которой изображены две «заряженные» грани. Плотность фиктивных магнитных зарядов ${\text{σ}}_{м}=\pm {\text{μ}}_{0}J$, где ${\text{μ}}_0=4\text{π·}{10}^{-7}$Гн/м – магнитная постоянная.

 

Рис. 3. Представление полюсных поверхностей слоями фиктивных магнитных зарядов

 

В [3] приводятся результаты решения уравнения Лапласа для скалярного потенциала $\text{Δφ}=0$ для двухмерного поля, созданного плоскостью с равномерно распределенным на ней зарядом [3, 10–14].

z и y-составляющие напряженности магнитного поля можно найти по формулам $H_z=-{\nabla }_z\text{φ}$ и $H_y=-{\nabla }_y\text{φ}$, можно найти:

$H_z=-\frac{{\text{σ}}_{\text{M}1}}{2{\text{π·μ}}_0}\left(\text{arctg}\frac{y}{z}-\text{arctg}\frac{y-a}{z}\right)$,

$H_y=-\frac{{\text{σ}}_{\text{M}1}}{4{\text{π·μ}}_0}\left\{\ln \left(y^2+z^2\right)-\text{ln}\left[{\left(a-y\right)}^2+z^2\right]\right\}$.

Вертикальная (сила подвеса) и горизонтальная составляющие силы взаимодействия граней единичной длины равны

$f_z={\text{σ}}_{\text{M}2}\underset{t}{\overset{t+a}{}}{H}_{Z}dy, f_y={\text{σ}}_{\text{M}2}\underset{t}{\overset{t+a}{}}{H}_{y}dz,$

и после интегрирования примут вид (при σ_{M1 =} σ_{M2 =} σ)

$f_z=\frac{{\text{σ}}_{\text{M}}^2}{2{\text{π·μ}}_0}\left\{\left(t+a\right)\text{arctg}\frac{t+a}{S}-2t\text{arctg}\frac{t}{S}+\left(t-a\right)\text{arctg}\frac{t-a}{S}+\frac{S}{2}\text{ln}\frac{\left(S^2+t^2\right)}{\left[S^2+{\left(t-a\right)}^2\right][S^2+\left(t+a{)}^2\right]}\right\}$,

$f_y=\frac{{\text{σ}}_{\text{M}}^2}{4{\text{π·μ}}_0}\left\{2S\left(\text{arctg}\frac{t+a}{S}-2\text{arctg}\frac{t}{S}+\text{arctg}\frac{t-a}{S}\right)+\left(t+a\right)\text{ln}\left[\left(t+a{)}^2+S^2\right]-2t\text{ln}\left(t^2+S^2\right)+\left(t-a\right)\text{ln}\right[\left(t-a{)}^2+S^2\right]\right\}$.

Можно говорить о целесообразности использования в системах магнитного подвеса многорядных структур на путевом полотне и на экипаже с определенным шагом установки магнитных полос с чередующейся полярностью. В этом случае величина силы подвеса f_z, приведенная к одной паре полос путевого полотна и экипажа, значительно возрастает и может быть описана формулой:

$f_{z,n}=2\text{π}\underset{j=0}{\overset{j=2}{}}\frac{{(-1)}^j}{j!\left(2-j\right)!}\text{·}{f}_z\left(\tilde{y}, \text{δ}+jh\right)+4\underset{i=1}{\overset{i=n-1}{}}\underset{j=0}{\overset{j=2}{}}{(-1)}^{i+j}\frac{\left(n-i\right)}{j!\left(2-j\right)!}·f_z[i\left(a+c\right)+\tilde{y},\text{δ}+jh]$,

где $\tilde{y}$ – относительное боковое смещение магнитов путевого полотна и экипажа; с – расстояние между соседними рядами (полосами). Рис. 4 иллюстрирует характер изменения силы  с ростом количества полос (n).

 

Рис. 4. Зависимость силы подвеса от количества полос

 

Боковая сила определяется выражением:

$f_{y,n}=2n\underset{j=0}{\overset{2}{}}\frac{{(-1)}^j}{j!\left(2-j\right)!}{f}_y(\tilde{y},\text{δ}+jh)+2\underset{j=1}{\overset{n-1}{}}\underset{j=0}{\overset{2}{}}{\left(1\right)}^{i+j}\left\{f_y\left[i\left(a+c\right)+\tilde{y},\text{δ}+jh\right]--f_y\left[i\left(a+c\right)-\tilde{y},\delta +jh\right]\right\}\frac{n-i}{j!\left(2-j\right)!}$.

При установке магнитных полос на путевом полотне и на экипаже необходимо учитывать зависимость $f_{z,n}$ и $f_{y,n}$ от расстояния между полосами. Анализ силы подвеса $f_{z,n}$ показал, что она при вариациях a и h в широких пределах достигает максимума при c ≈ 0,01 м.

Оценить качество магнитного подвеса можно с помощью показателей эффективности (q₁) и устойчивости подвешивания (q₂), которые определяются следующим образом:q₁= f_z / P и q₂= f_z/ f_y, где P – вес ПМ. Показатель эффективности предоставляет возможность контролировать «качество» системы подвеса при нахождении её параметров для конкретного случая. Этот показатель и показатель устойчивости могут быть взяты в качестве целевых функций при решении задач по оптимизации. Расчеты показали, что для ПМГ при δ= 10 мм показатель эффективности составляет 10, а при δ= 7,5 мм – q₁≈ 12-13.

Естественно, что при разработке систем магнитного подвеса такого рода необходимо стремиться к достижению высоких значений q₁ и q₂.

В зависимости боковой силы, действующей на экипаж, от его бокового смещения, в системе с ПМГ наблюдается максимум. После достижения максимума боковая сила начинает уменьшаться, однако этот случай выходит за рамки реально допустимых $\tilde{y}$ (Рис. 5). На Рис. 6 показаны «кривые сползания» ПМ, иллюстрирующие уменьшение зазора δ с ростом $\tilde{y}$.

 

Рис. 5. Зависимость боковой силы от бокового смещения

 

Рис. 6. Зависимости величины воздушного зазора от бокового смещения

 

Иногда целесообразно использовать на путевом полотне и на экипаже ПМ разных размеров (a₁×h₁ и a₂×h₂). В этом случае формулы для вертикальной и боковой сил принимают вид:

$f_z=\frac{{\text{μ}}_0{J}^2}{2\text{π}}{\int }_{-\frac{1}{2}\left(a_2-a_1\right)+\tilde{y}}^{\frac{1}{2}\left(a_1+a_2\right)+\tilde{y}}(\text{arctg}\frac{y}{\text{δ}+h_2}-\text{arctg}\frac{y}{\text{δ}}+arctg\frac{y-a_1}{\text{δ}+h_1+h_2}-\text{arctg}\frac{y-a_1}{\text{δ}+h_1}--\text{arctg}\frac{y}{\text{δ}+h_1+h_2}+\text{arctg}\frac{y}{\text{δ}+h_1}-\text{arctg}\frac{y-a_1}{\text{δ}+h_2}+\text{arctg}\frac{y-a_1}{\text{δ}})dy$,

$f_y=\frac{{\mu }_0{J}^2}{2\pi }{\int }_{\delta }^{\delta +h_2}\left[arctg\frac{\tilde{y}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_1+a_2)}{z}- arctg\frac{\tilde{y}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2-a_1)}{z}+arctg\frac{\tilde{y}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2-a_1)}{z+h_1}-arctg\frac{\tilde{y}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2-a_1)}{z+h_1}--arctg\frac{\tilde{y}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2+a_1)}{z+h_1}+arctg\frac{\tilde{y}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2-a_1)}{z+h_1}-arctg\frac{\tilde{y}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2-a_1)}{z}+arctg\frac{\tilde{y}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_2+a_1)}{z}\right]dz.$

В результате анализа этих зависимостей можно говорить, что $f_z$ достигает максимума при изменении a₂ (a₂≠a₁) при $f_z$= $f_{Z\text{max}}$. Сравнение показателей эффективности q₁₍₁₎ и q₁₍₂₎показывает, что q₁₍₁₎ достигает значений, заметно б льших нежели q₁₍₂₎, а так же q_1(2)max, определяемом при данном h₂. Например, при δ = 7,5 мм, a₂= 40 мм, h₂=45 мм имеем q₁₍₁₎=17,1, q₁₍₂₎ = 3,8 иq_1(2)max= 5,0. Если на экипаже установлены ПМ с размерами a₁иh₁, то их несущая способность будет достаточно высокой, но одновременно возрастает расход магнитного материала путевого ПМ. Возможен альтернативный вариант: можно установить магниты с размерами a₁ и h₁ на путевом полотне, тогда расход магнитного материала на путевом полотне значительно снизится, но упадет грузоподъемность системы. Поэтому решение по выбору размеров экипажных и путевых магнитов нужно принимать с учетом требований каждого конкретного случая.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКИПАЖНЫХ И ПУТЕВЫХ ПМ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА ФЕРРОМАГНИТНУЮ ОСНОВУ, ПРИ СТОЯНКЕ ЭКИПАЖА

При установке магнитных полос на путевые ферромагнитные шины (ФШ) вертикальная сила взаимодействия магнитных систем путевого полотна и экипажа возрастает, причем лучшим из возможных вариантов являются шины плоской формы. Они просты по конструкции, удобны при разработке конструкций путевого полотна и экипажа, их эксплуатация не требует значительных затрат.

Использование ФШ уменьшает потоки рассеяния, способствует концентрации магнитных полей в зоне рабочего зазора. Однако, наличие ФШ приводит к увеличению не только силы подвеса, но и боковой силы.

Силы $f_z$ и $f_y$ можно найти методом зеркальных отображений, для этого используется расчетная схема для одной пары полос (Рис. 7).

 

Рис. 7. Расчетная схема для метода зеркальных отображений

 

Здесь заряженным граням 1 и 2 соответствуют отображения, помеченные соответствующей цифрой со штрихом.

Принимаемые допущения:

1) относительная магнитная проницаемость вещества ФШ – бесконечно большая;

2) рассматриваются только первые отображения;

3) влиянием полей граней ПМ, находящихся на ФШ, пренебрегаем.

Выражение для силы подвеса  магнитных полос имеет следующий вид:

$f_{z,n}=n\left[f_z\left(\tilde{y},\text{δ}\right)-2f_z\left(\tilde{y},\text{δ}+2h\right)-2f_z\left(\tilde{y}\mathrm{,2}\text{δ}+2h\right)+f_z\left(\tilde{y},\text{δ}+4h\right)+2f_z\left(\tilde{y}\mathrm{,2}\text{δ}+2h\right)+\right.$

$\left.+f_z\left(\tilde{y}\mathrm{,3}\text{δ}+4h\right)\right]+2\sum _{i=1}^{n-1}{\left(-1\right)}^i\left(n-i\right)\left\{f_z\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right),\text{δ}\right)-2f_z\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right),\text{δ}+2h\right)-\right.$

$-2f_z\left(\tilde{y}+i\left(a+c\mathrm{,2}\text{δ}+2h\right)\right)+f_z\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right),\text{δ}+4h\right)+2f_z\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right)\mathrm{,2}\text{δ}+4h\right)+\left.f_z\left(\tilde{y}+i(a+c)\mathrm{,3}\text{δ}+4h\right)\right\}$;

а боковая сила определяется следующей формулой:

$f_{y,n}=n\left[f_y\left(\tilde{y},\text{δ}\right)-2f_y\left(\tilde{y},\text{δ}+2h\right)+f_y\left(\tilde{y},\text{δ}+4h\right)-f_y\left(\tilde{y}\mathrm{,3}\text{δ}+4h\right)\right]+$

$+\sum _{i=1}^{n-1}{\left(-1\right)}^i\left(n-i\right)\left\{f_y\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right),\text{δ}\right)-f_y\left(i\left(a+c\right)-\tilde{y},\text{δ}\right)+2f_y\left(i\left(a+c\right)-\tilde{y},\text{δ}+2h\right)-\right.$

$-2f_y\left(\tilde{y}+i(a+c),\text{δ}+2h\right)+f_y\left(\tilde{y}+i\left(a+c\right),\text{δ}+4h\right)-f_y\left(i\left(a+c\right)-\tilde{y}\mathrm{,3}\text{δ}+4h\right)+\left.f_y\left(i(a+c\right)-\tilde{y}\mathrm{,3}\text{δ}+4h)-f_y\left(i\left(a+c\right)+\tilde{y}\mathrm{,3}\text{δ}+4h\right)\right\}$.

Влияние ФШ обусловливает увеличение $f_z$ и $f_y$, которое может достигать полуторного значения при определенных размерах сечения ФШ без учета ее массы ($m_{\text{ФШ}}$). Минимальная величина массы ФШ (для обеспечения требуемого силового взаимодействия) составляет, примерно, 25 % массы всех ПМ.

При увеличении высоты h сечения ФШ эффект от ее применения снижается, поэтому возникает вопрос об отыскании оптимального значения этого размера. В этом случае можно воспользоваться следующим критериальным условием:

$\frac{f_{z,\text{ФШ}}}{f_z}>k\frac{m_{\text{ФШ}}+m_{\text{M}}}{m_{\text{M}}},$

где $f_{z,\text{ФШ}}$ и $f_z$ – силы подвеса с ФШ и без нее, и $m_{\text{M}}$ – масса всех ПМ; $k$ – коэффициент, усиливающий требования к целесообразности применения ФШ $\left(k>1\right)$. Учитывая связь $m_{\text{ФШ}}$ с характеристиками и размерами ПМ, (2) можно придать вид:

$\frac{f_{z,\text{ФШ}}}{f_z}>k\frac{\frac{{\text{μ}}_0\cdot J\cdot {\text{ρ}}_{\text{ФШ}}}{2\text{π}\cdot B_{\text{нас}}}\cdot \left(a+\frac{с}{2}\right)\left(\text{π}a+2\text{arctg}\frac{a}{h}-h\ln \frac{a^2+h^2}{h^2}\right)+{\text{ρ}}_{\text{M}}\cdot a\cdot h}{{\text{ρ}}_{\text{M}}\cdot a\cdot h},$

где ${\text{ρ}}_{\text{ФШ}}$, ${\text{ρ}}_{\text{М}}$ – плотности материалов ФШ и ПМ соответственно, ${В}_{\text{нас}}$ – индукция насыщения материала ФШ.

Для рассматриваемого критерия можно использовать и иное соотношение:

$\frac{f_{z,\text{ФШ}}-m_{\text{M}}g-m_{\text{ФШ}}g}{f_z-m_{\text{M}}g}>1$.

Анализ характеристик ПМ затруднен из-за громоздкости выражений для $f_x$ и $f_y$, причем трудоемкость расчетов возрастает по мере увеличения пар магнитных полос. Чтобы в какой-то мере избежать этого, можно использовать схемы замещения, тогда указанные силы можно определить так:

$\begin{array}{cc}{f}_{z,n}=k_n\cdot f_z& \end{array}$

и $f_{z,n\text{ФШ}}=k_{n,\text{ФШ}}\cdot f_z,$

где $k_n$ и $k_{n,\text{ФШ}}$ – коэффициенты замещения, определяемые для каждой пары значений a и h. Такое замещение приводит к появлению погрешности при определении сил подвеса, не превышающей 8 % в широком интервале изменения высоты подвеса.

Следует констатировать, что при пространственных перемещениях экипажа с помощью схем замещения нельзя значительно понизить сложность анализа силового взаимодействия в рассматриваемой системе подвеса.

Для двух произвольно ориентированных в пространстве ПМ потенциальная энергия равна:

$E={\text{μ}}_{\text{0}}I\underset{0}{\overset{b}{\int }}dx\underset{y+\left(x-\frac{b}{2}\right)\text{γ}}{\overset{[y+a+\left(x-\frac{b}{2}\right)\text{γ]}}{\int }}dy\underset{\text{δ}+\left(x-\frac{b}{2}\right)\text{φ}-\left(y-\frac{a}{2}\right)\text{α}}{\overset{\text{δ}+\left(x-\frac{b}{2}\right)\text{φ}-\left(y-\frac{a}{2}\right)\text{α}+h}{\int }}{H}_{z}dz,$

где $\text{γ}$, $\text{φ}$ и $\text{α}$ – угловые перемещения ПМ вокруг вертикальной, горизонтальной поперечной и продольной осей соответственно.

Производная E по любой из обобщенных координат дает соответствующую обобщенную силу.

Cила подвеса равна $F_z=\underset{0}{\overset{b}{\int }}{f}_{z}dx$, здесь аргумент $f_z$ (под $f_z$ понимается сила подвеса одной магнитной полосы многорядной системы) содержит величину $S=\text{δ}+\left(x-\frac{b}{2}\right)\text{φ}$. Из-за громоздкости выражения для $f_z$, особенно при использовании ФШ, данное выражение целесообразно представить следующим образом $F_z=b\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}_z\left(\text{ξ}\right)d\text{ξ}$, где $\text{ξ}=\frac{2x}{b}-1$. Затем при решении используются квадратурные формулы Чебышева, т. к. весовые коэффициенты в них одинаковы, а узлы симметричны относительно середины ПМ. Таким образом, распределенная сила, действующая на экипажный ПМ, заменяется на ряд сил, сосредоточенных в ${\text{ξ}}_i$узлах. Чтобы найти $F_z$, экипажный ПМ, ориентированный произвольно относительно путевого полотна, разбивается на 2n элементов одинаковой длины b/2. Далее каждая наклоненная часть относительно плоскости путевого полотна заменяется на магнит длиной b/2, который располагается горизонтально (экипажный магнит имеет форму «лестницы»). Отсюда подъемная сила равна

$F_z=\sum _{K=1}^n{f_z}^{\left(\pm K\right)}$.

При исследованиях силового взаимодействия ПМ, расположенных на путевом полотне экипажа, а также устойчивости подвеса последнего кроме главного вектора сил необходимо знать главный момент, действующий на экипаж. В случае пяти узлов в квадратурной формуле Чебышева он определяется следующим выражением:

$M_y=\left(F_{z1}-F_{z5}\right)\frac{b}{2}\left|{\text{ξ}}_1\right|+\left(F_{z2}-F_{z4}\right)\frac{b}{2}\left|{\text{ξ}}_2\right|$.

ОПТИМИЗАЦИЯ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ ПУТЕВОГО ПОЛОТНА И ЭКИПАЖА

Данный вопрос приобретает особую актуальность в процессе создания и разработки транспортных систем. Здесь побудительной причиной является минимизация затрат ферромагнитного материала при сохранении требуемого значения подъемной силы $f_z$ и величины рабочего зазора $\text{δ}$, что благотворно отражается на стоимости экипажа и путевого полотна. 

Оптимизационная задача формулируется в зависимости от условий эксплуатации транспортной системы, ее габаритных размеров, технической возможности осуществления конструкции отдельных узлов и т.д.

За целевые функции могут быть взяты показатели эффективности $q_1=f_z/mg$ и устойчивости $q_2=f_z/f_y$. Учитывая, что в реальных магнитных системах боковые перемещения окажут весьма незначительное влияние на силу подвеса, в качестве целевой функции можно рассматривать нелинейную функцию $q_1=q_1\left(х\right)$, где $\mathit{х}=\left\{a,h,c\right\}$.

Количество компонент $x_i$варьируется в зависимости от конкретики задачи. Отыскание $\max \left\{q_1\left(\mathit{х}\right)\right\}$ заключается в поиске $\min \left\{-\left|q_{\text{1}}\right(\mathit{х}\left)\right|\right\}$, т.е. $Ф\left(х\right)=-\left|q_1\left(х\right)\right|$. Условия эксплуатации реальных транспортных систем рассматриваемого типа подсказывают численные ограничения, налагаемые на компоненты $\mathit{х}$:

$0<a\le {\mathrm{0,1}}^{}\text{м,}$ $0<h\le {\mathrm{0,1}}^{}\text{м,}$ $c\ge 0$.

Возможны и другие ограничения, диктуемые конкретикой задачи, например, количество магнитных полос, устанавливаемых на путевом полотне и экипаже, наличие ФШ и др.

В качестве первого шага оптимизации рассматривался самый простой случай - неподвижный экипаж. Тогда выбор оптимизационного метода существенно упрощается, если учесть, что их физическая сущность позволяет заметно сузить границы поиска, кроме того, количество компонент сравнительно невелико. В результате был выбран метод перебора с переменным шагом в окрестности точки x минимума Ф(х). Ф(х) – выпуклая функция и, следовательно, имеет глобальный минимум.

Были рассмотрены задачи поиска $\max \left\{{\text{μ}}_{\text{э}}\left(\mathit{х}\right)\right\}$ для ряда магнитных систем, например, одна пара взаимодействующих полос без ФШ; пара полос с чередующейся полярностью без ФШ; n пар полос с чередующейся полярностью с ФШ.

Осуществлялся поиск глобального экстремума ${\text{μ}}_{\text{э}}\left(х\right)$ и определялись оптимальные значения $x_{i0}$ при различных $f_z$, $\text{δ}$ и J.

Выбор ограничивающего условия обусловливался тем обстоятельством, что величина взаимного размагничивающего действия магнитных полей зависит от величины минимально допустимого рабочего зазора. Это условие имеет вид:

$\frac{1}{q+{\chi }_r}+\frac{\mathrm{0,95}}{2\text{π}\left(1+{\chi }_r/q\right)}\left(\text{arctg}\frac{y}{z}+\text{arctg}\frac{y-a}{z+h}-\text{arctg}\frac{y}{z+h}-\text{arctg}\frac{y-a}{z}\right)\le \left|\frac{H_{\text{пер}}}{J_r}\right|$,

где ${\chi }_r$ - магнитная восприимчивость материала ПМ, $z=\text{δ}$. Результаты решения этого неравенства при $z=0$ и $y=a/2$ приведены на Рис. 8.

 

Рис. 8. Зависимость минимально допустимого отношения сторон сечения магнита от $\mathbf{|}{\mathit{H}}_{\mathbf{\text{пер}}}\mathbf{/}{\mathit{J}}_{\mathbf{r}}\mathbf{|}$

 

Здесь по оси ординат отложена величина минимально допустимого отношения сторон сечения магнита $\text{β}={\text{β}}_{\min }=h/a$, удовлетворяющего рассматриваемому неравенству для вариантов с использованием ФШ и без нее. Как видно, важной характеристикой магнитного материала является: отношение $|H_{\text{пер}}/J_r|$, с его увеличением роль ограничивающего условия снижается. Наличие ФШ значительно улучшает характеристики подвеса, позволяет получать большие значения ${\left(a/h\right)}_{\max }=1/{\text{β}}_{\min }$. Большим значениям a/h свойственны высокие $q_1$, при этом при $a>h$ экипаж ведет себя устойчивее в горизонтальной плоскости по сравнению со случаем $h>a$.

ВЫВОДЫ

1. Целесообразно использовать многорядные системы из постоянных магнитов, установленные как на экипаже, так и на путевом полотне. Магниты устанавливаются с чередованием полярности.
2. Увеличение количества рядов магнитов с чередующейся полярностью приводит к возрастанию результирующей напряженности размагничивающего поля, а в случае без чередования полярностей наблюдается обратный эффект.
3. Сила подвеса достигает максимума при определенном расстоянии между полосами из постоянных магнитов. Например, сила подвеса при вариациях размеров поперечного сечения ПМ в широких пределах достигает максимума при c ≈ 0,01м.
4. Поперечное смещение экипажных ПМ при горизонтальной схеме расположения приводит к уменьшению силы подвеса (вплоть до изменения ее направления) и возрастанию боковой силы, причем зависимость последней от поперечного смещения имеет максимум.
5. Наличие ферромагнитной шины не только значительно улучшает характеристики подвеса (силы взаимодействия экипажных и путевых ПМ при определенных размерах сечения магнитной полосы возрастают примерно в полтора раза), но и увеличивает устойчивость подвеса.
6. Использование ПМ с большими значениями отношения ширины к высоте магнита приводит не только к увеличению эффективности подвеса, но и к повышению устойчивости в горизонтальной плоскости.

About the authors

Konstantin K. Kim

Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Author for correspondence.
Email: kimkk@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-7282-4429
SPIN-code: 3278-4938

Doctor of Technical Sciences, Professor

Russian Federation, St. Petersburg

Irina M. Karpova

Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Email: legiero@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1197-0753
SPIN-code: 7820-7708

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor

Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files