Detection of a random signal in non-Gaussian noise with non-ideal training interference samples

Толық мәтін

ВВЕДЕНИЕ

Во многих задачах статистической радиотехники и радиофизики статистические выводы основываются не только на наблюдениях, но и на априорных предположениях об исследуемой ситуации, например в виде тех или иных распределений в изучаемой модели [1–4].

В работах [5–8] решается задача объединения независимых каналов обнаружения случайного сигнала на фоне случайной помехи независимой интенсивности в предположении нормальности всех случайных величин. В данных работах аналогичный вопрос исследуется для негауссовских нестационарных случайных величин.

Обнаружение случайного сигнала на фоне аддитивной негауссовской нестационарной помехи

Пусть обнаружение сигнала проводится на основе информации 2K независимых каналов. В первых, основных, K каналах формируются выборки размером n комплексных амплитуд смеси сигнала s и помехи {y_i.k}, i =1,…,n; k =1,…,K. Во вторых, дополнительных, К каналах может быть только помеха с выборочными значениями {х_j.k} x j.k , j =1,…,m; k =1,…,K.

Пусть х_i.k и y_j.k ― комплексные случайные независимые величины с плотностью распределения вероятностей (ПРВ).

$W\left(y_{i.k}\right)=W\left(\left|y_{i.k}\right|,{∆}_k,q_k,{\epsilon }_k\right)=\frac{a_{i.k}}{{\epsilon }_k{∆}_k\left(1+q_k\right)}{f}_{i.k}\left(\frac{\left|y_{i.k}\right|}{\sqrt{{\epsilon }_k{∆}_k\left(1+q_k\right)}}\right)$; (1)

$W\left(x_{j.k}\right)=W\left(\left|x_{j.k}\right|,{\epsilon }_k\right)=\frac{b_{j.k}}{{\epsilon }_k}{g}_{j.k}\left(\frac{\left|x_{j.k}\right|}{\sqrt{{\epsilon }_k}}\right)$. (2)

Здесь ${\epsilon }_k >0$ ― неизвестные энергетические параметры выборочных значений помехи, постоянные в каждом канале; $q_k \ge 0$ ― параметры, характеризующие энергетические отношения сигнал-помех (ОСП); ${∆}_k\in \left[ \underline{∆}, \overline{∆} \right]$ 0 < $\underline{\mathrm{\Delta }}$ ≤1 ≤ $\overline{\mathrm{\Delta }}$ < ∞  ― параметры неидеальности обучающих помеховых выборок; $a_{i.k}$, $b_{j.k}$ ― нормировочные постоянные, больше нуля.

Пусть функции $f_{i.k}\left(y\right)$ и $g_{j.k}\left(y\right)$ при всех $k=\mathrm{1,}\dots ,K$, $i=\mathrm{1,}\dots ,n$, $j=\mathrm{1,}\dots ,m$ имеют следующие свойства:

А) $\frac{f_{i.k}\left(y\right)}{f_{i.k}\left(\alpha y\right)}$, $\frac{g_{j.k}\left(y\right)}{g_{j.k}\left(\alpha y\right)}$ определены и монотонно возрастают при $y \ge 0$ для произвольного $\alpha >1$;

Б) $f_{i.k}\left(y\right)$, $g_{j.k}\left(y\right)$ монотонно стремятся к нулю на $\left[y_0, +\infty \right)$ для некоторого $y \ge 0$.

Такие свойства имеют ПРВ большого числа распределений: нормального, Коши, Лапласа, гамма-распределения и другие.

Условие Б) обеспечивает существование всех интегралов, которые встречаются в данной работе.

Сформулируем задачу обнаружения сигнала как задачу проверки гипотезы

$H_0 : q_1=\dots q_K=0$

против альтернативы

$H_1 : q_1 \ge q_0,\dots ,q_K \ge q_0$,

где $q_0 >\frac{\overline{∆}}{\underset{\_}{∆}}-1$ является границей контролируемой области ОСП; последнее неравенство разделяет гипотезу и альтернативу.

Построение максиминного решающего правила

Перейдем к построению максиминного решающего правила. Можно ограничиться классом инвариантных относительно изменения масштаба критериев, поскольку в [8] показано существование максиминного решающего правила в этом классе.

Возьмем распределение параметров ∆_k и q_k, сосредоточенных в точках $\overline{∆}$ и 0 при гипотезе H₀ и в точках $\underline{∆}$ и q₀ при альтернативе H₁ (k =1,…,K).

Для такого выбора распределений параметров ∆_k и q_k наиболее мощное решающее правило, инвариантное относительно изменения масштаба, как это следует из [9], имеет вид

$\text{ψ}={\prod }_{k=1}^{K{\sum }_{}^{}}\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\lambda \left|y_{i.k}\right|,\underline{∆},q_0\mathrm{,1}\right){\prod }_{j=1}^m\left(\lambda \left|x_{j.k}\right|\mathrm{,1}\right){\lambda }^{2m=2n-1}d\lambda }}{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\lambda \left|y_{i.k}\right|,\overline{∆}\mathrm{,0,1}\right){\prod }_{j=1}^m\left(\lambda \left|x_{j.k}\right|\mathrm{,1}\right){\lambda }^{2m=2n-1}d\lambda }}\ge C$ (3)

$\text{ψ}=\text{ψ}\left(\left|y_1\right|,\dots ,\left|y_K\right|,\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_K\right|,\overline{∆},\underline{∆},q_0 \right)$;

$\left|y_k\right|=\left|y_{1k}\right|,\dots ,\left|y_{nK}\right|$; 

$\left|x_k\right|=\left|x_{1k}\right|,\dots ,\left|x_{nK}\right|$;

$k=\mathrm{1,}\dots ,K$;

C ― постоянная, определяемая из соотношения

${\int }_{\text{ψ}\ge С}^{}{\prod }_{k=1}^K\left({\prod }_{i=1}^{n}W\left(\left|y_{i.k}\right|,\overline{∆}\mathrm{,0,1}\right){\prod }_{j=1}^{m}W\left(\left|x_{j.k}\right|\mathrm{,1}\right)\right)dxdy={\alpha }_0$

где ${\alpha }_0$ ― заданная вероятность ошибки 1-го рода.

Формулировка и доказательства теорем

Теорема 1. Правило (3) является максиминным решающим правилом для проверки гипотезы H₀ против альтернативы H₁.

В качестве примеров выпишем явный вид правила (3) для некоторых конкретных видов ПРВ:

• для величин, распределенных по нормальному закону $f_{i.k}\left(y\right)\equiv g_{j.k}\left(y\right)\equiv \text{exp}\left(-{\left|y\right|}^2\right)$, для всех i, j, k, получим

$\text{ψ}={\prod }_{k=1}^K{\left(\frac{\overline{∆}}{\underset{\_}{∆}\left(1+q_0\right)}\right)}^n{\left(\frac{\frac{1}{\overline{∆}}{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\left|y_{i.k}\right|}^2+{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^m{\left|x_{j.k}\right|}^2}{\frac{1}{\underline{∆}\left(1+q_0\right)}{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\left|y_{i.k}\right|}^2+{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^m{\left|x_{j.k}\right|}^2}\right)}^{m+n}$;

• для величин, распределенных по закону Лапласа $f_{i.k}\left(y\right)\equiv g_{j.k}\left(y\right)\equiv \text{exp}\left(-\left|y\right|\right)$, для всех i, j, k, получим

$\text{ψ}={\prod }_{k=1}^K{\left(\frac{\overline{∆}}{\underset{\_}{∆}\left(1+q_0\right)}\right)}^n{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\overline{∆}}}{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n\left|y_{i.k}\right|+{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^m\left|x_{j.k}\right|}{\frac{1}{\sqrt{\underset{\_}{∆}\left(1+q_0\right)}}{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n\left|y_{i.k}\right|+{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^m\left|x_{j.k}\right|}\right)}^{2m+2n}$.

Алгоритмы проверки сложных параметрических гипотез в некоторых случаях сохраняют оптимальные свойства для более широкого класса ПРВ по сравнению с тем, для которого они были синтезированы.

Значительный интерес представляет задача определения «области устойчивости» алгоритма, то есть расширенного класса распределений, для которых алгоритмы остаются оптимальными.

Рассмотрим с этой позиции задачу проверки гипотезы H₀ против альтернативы H₀1.

Определение. Инвариантной выпуклой оболочкой (ИВО) семейства вещественно-значных функций $G={\left\{G_{\mathrm{\beta }}\right\}}_{\mathrm{\beta }\in \mathrm{\Omega }}$, определенных в Bⁿ, будем называть множество произвольных конечных линейных комбинаций функций из G вида

${\sum }_{s=1}^N{\alpha }_s\left(y_1,\dots ,y_n\right)G_{\mathrm{\beta }}\left(y_1,\dots ,y_n\right)$; $y_i\in B$, ${\mathrm{\beta }}_s\in \mathrm{\Omega }$,

где N ― произвольное натуральное число, ${\alpha }_s$ ― вещественно-значные неотрицательные измеримые по Лебегу функции, такие, что

${\sum }_{s=1}^N{\alpha }_s\left(y_1,\dots ,y_n\right)=1$,

${\alpha }_s(\lambda y_1,\dots ,\lambda y_n)\equiv {\alpha }_s\left(y_1,\dots ,y_n\right)$, $\lambda >0$, $s=\mathrm{1,}\dots ,N$.

Рассмотрим расширенный класс ПРВ случайных величин $\left\{y_{i.k}\right\}$: пусть выборка $y_{1k},\dots ,y_{nk}$ основного канала ($k=\mathrm{1,}\dots ,K$; каналы считаем независимыми) представляет собой реализацию комплексной случайной величины, ПРВ которой принадлежит ИВО семейства функций

$G_0^k={\left\{{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\left|y_{i.k}\right|,{∆}_k\mathrm{,0,}{\epsilon }_k\right)\right\}}_{{∆}_k\in \left[ \underset{\_}{∆}, \overline{∆} \right]}$,

в отсутствие сигнала и ИВО семейства

$G_1^k={\left\{{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\left|y_{i.k}\right|,{∆}_k,q_k,{\epsilon }_k\right)\right\}}_{{∆}_k\in \left[ \underset{\_}{∆}, \overline{∆} \right], q_{k\in \left[q_0, +\infty \right]}}$

при наличии сигнала.

Плотность распределения случайной помехи $x_{j.k}$ определяется формулой (2) ($j=\mathrm{1,}\dots ,m$; $k=\mathrm{1,}\dots ,K$).

Задачу обнаружения сигнала сформулируем как задачу проверки гипотезы

$H_0^{\text{'}}$ : $W_k\left(y_{1k},\dots ,y_{nk}\right)\in G_0^k$, $k=\mathrm{1,}\dots ,K$,

против альтернативы

$H_1^{\text{'}}$ : $W_k\left(y_{1k},\dots ,y_{nk}\right)\in G_1^k$, $k=\mathrm{1,}\dots ,K$.

Заметим при этом, что произвольный элемент из $G_0^k$ или $G_1^k$ является плотностью некоторого распределения.

Приведем примеры ПРВ из ИВО семейства функций $G_1^k$:

${\sum }_{s=1}^m\frac{\left|y_{sk}\right|}{\left|y_{1k}\right|+\dots +\left|y_{nk}\right|}{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\left|y_{i.k}\right|,{∆}_{ks},q_{ks},{\epsilon }_k\right)$;

${\sum }_{s=1}^2\frac{{\left|{\overline{y}}_{1k}^s\right|}^2+\dots +{\left|{\overline{y}}_{nk}^s\right|}^2}{{\left|y_{1k}\right|}^2+\dots +{\left|y_{nk}\right|}^2}{\prod }_{i=1}^{n}W\left(\left|y_{i.k}\right|,{∆}_{ks},q_{ks},{\epsilon }_k\right)$;

${\overline{y}}_{1k}^1=\text{Re}{y}_{ik}$, ${\overline{y}}_{1k}^2=\text{Im}{y}_{sk}$.

Теорема 2. Решение правило (3) сохраняет свои максиминные свойства и для проверки гипотезы $H_0^{\text{'}}$ против альтернативы $H_1^{\text{'}}$.

В доказательстве теорем 1, 2 используется следующая лемма.

Лемма. Функция $\text{ψ}\left(\dots ,\left|y_k\right|,\dots \right)$ является монотонно возрастающей по каждому аргументу $\left|y_k\right|$, $k=\mathrm{1,}\dots ,K$, то есть $\text{ψ}\left(\dots ,\text{α}\left|y_k\right|,\dots \right)\le \text{ψ}\left(\dots ,\mathrm{\beta }\left|y_k\right|,\dots \right)$ при $0 <\text{α }\le \mathrm{\beta }$.

При доказательстве леммы используется условие А).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрена и проанализирована задача объединения независимых каналов обнаружения случайного сигнала на фоне негауссовских нестационарных случайных помех при наличии неидеальных обучающих помеховых выборок. Показано, что обнаружение сигнала может быть осуществлено на основе информации 2K независимых каналов. В первых, основных, K каналах формируются выборки размером n комплексных амплитуд смеси сигнала и помехи, во вторых, дополнительных, K каналах ― только выборочные значения помехи. Приведены примеры для конкретных видов негауссовских помех.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Источник финансирования. Автор заявляет об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Автор декларирует отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

ADDITIONAL INFO

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

Competing interests. The author declares that they have no competing interests.

Авторлар туралы

Evgeny Samarov

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: omega511@mail.ru
SPIN-код: 1077-2126

Dr. Sci. (Engineering), Head of the Department of Mathematics

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар