Том 60, № 2 (2024)

Исследована локальная динамика логистического уравнения с запаздыванием и с дополнительной обратной связью, содержащей большое запаздывание. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия. Показано, что они имеют бесконечную размерность. Хорошо известные методы изучения локальной динамики, основанные на применении теории инвариантных интегральных многообразий и нормальных форм, здесь не применимы, поэтому использованы и развиты предложенные автором методы бесконечномерной нормализации. Построены специальные нелинейные краевые задачи параболического типа, играющие роль нормальных форм. Они определяют главные члены асимптотических разложений решений исходного уравнения, которые называют квазинормальными формами.

Для неоднородного линейного уравнения колебаний струны рассмотрены периодическая по пространственной переменной и смешанная задачи в полуполосе, решения которых выписаны в квадратурах в виде конечных сумм. Для решения этих задач использованы тождество характеристического прямоугольника, инварианты Римана и метод характеристик.

Рассмотрены два слабо сингулярных граничных интегральных уравнения Фредгольма первого рода, к каждому из них может быть сведена стационарная трёхмерная задача дифракции акустических волн. Свойства этих уравнений изучены на спектрах, на которых они являются некорректными. Для одного уравнения показано, что если его решение на спектре существует, то оно позволяет получать решение задачи дифракции. Второе уравнение в этом случае всегда имеет бесконечно много решений, но только одно даёт решение задачи дифракции. Обсуждается метод интерполяции для отыскания приближённых решений рассматриваемых интегральных уравнений и задачи дифракции.

Рассмотрена задача управления процессами, математической моделью которых является начально-краевая задача для псевдогиперболического линейного дифференциального уравнения высокого порядка по пространственной переменной и второго порядка по временнй переменной. Псевдогиперболическое уравнение является обобщением обычного гиперболического уравнения, типичного в теории колебаний. В качестве примеров изучены модели колебаний движущихся упругих материалов. Для модельных задач установлено энергетическое тождество, сформулированы условия единственности решения. Как оптимизационная рассмотрена задача управления правой частью с целью минимизации квадратичного интегрального функционала, который оценивает близость решения к целевой функции. От изначального функционала выполнен переход к мажорантному функционалу, для которого установлена соответствующая оценка сверху. Получено явное выражение градиента этого функционала, выведены сопряжённые начально-краевые задачи.

Рассмотрена задача о консенсусе (т.е. о согласовании фазовых векторов) для мультиагентной системы, состоящей из однотипных линейных агентов. Изучен случай, когда между агентами нет коммуникации, т.е. нет обмена информацией, а управление агентами осуществляется за счёт собственных датчиков агентов, дающих неполную информацию о фазовых векторах агента и его соседей, при этом информация может быть зашумлена. Для решения задачи применён линейный протокол на основе данных от наблюдателей для систем в условиях неопределённости. В качестве таких наблюдателей предложено использовать каскадные наблюдатели на основе метода “super-twisting” (супер-скручивающий каскадный наблюдатель). Получены достаточные условия существования регулятора, при которых ошибка наблюдения стремится к нулю при ограниченных возмущениях. Приведён пример, иллюстрирующий предложенный подход.

Рассмотрено развитие метода построения асимптотических формул при $x\to +\infty$ фундаментальной системы решений двучленных сингулярных симметрических дифференциальных уравнений нечётного порядка с коэффициентами из широкого класса функций, допускающих осцилляцию (с ослабленными условиями на регулярность, не удовлетворяющими классическим условиям регулярности Титчмарша–Левитана). На примере двучленного уравнения третьего порядка $\left(i2\right)\left[\right(p{\left(x\right)y^{\text{'}}{)}^{\text{'}\text{'}}}^{}+\left(p\right(x\left){y^{\text{'}\text{'}}}^{}{)}^{\text{'}}\right]+q\left(x\right)y=\lambda y$ исследована асимптотика решений при различном поведении коэффициентов $qx$, $hx-1+1\sqrt{px}$. Получены новые асимптотические формулы для случая, когда $hx\notin L_1\infty$.

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в осеннем семестре 2023 г. (предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференц. уравнения”. 2023. Т. 59. № 8; за дополнительной информацией обращаться по адресу: deq@cs.msu.ru)[7]