Том 65, № 9 (2025)

Исследуется краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуцилиндре, содержащем малую полость. Рассматривается случай, когда упругая, однородная изотропная среда, заполняющая область с малой полостью, жестко сцеплена с боковой границей полуцилиндра и границей малой полости, что соответствует однородному граничному условию Дирихле, а на основании полуцилиндра задано спектральное условие Стеклова. Основной результат состоит в доказательстве теоремы о сходимости собственных элементов такой сингулярно возмущенной краевой задачи к собственным элементам предельной задачи (в полуцилиндре без полости) при стремлении к нулю малого параметра ε > 0, характеризующего диаметр полости. Для доказательства теоремы было введено гильбертово пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций, обладающих конечным интегралом Дирихле по полуцилиндру. В отличие от ситуации с ограниченной областью, в исследуемой краевой задаче условие конечности интеграла Дирихле является существенным, так как оно обеспечивает в целом конечность нормы в введенном пространстве. Ограничение на конечность интеграла Дирихле позволило установить априорные оценки, гарантирующие единственность решений предельной и возмущенной краевых задач и установить эквивалентность норм, необходимую для доказательства существования решения исследуемой сингулярно возмущенной краевой задачи. Библ. 42. Фиг. 1.

Статья посвящена анализу коэффициентов возмущений модели компенсации нелинейных искажений в волоконно-оптических линиях связи. Рассматривается случай передачи сигнала на дальние расстояния, для которого эффект дисперсии сигнала в некотором смысле гораздо существеннее, чем нелинейные искажения. Это позволяет использовать для описания процесса распространения сигнала приближение нелинейного уравнения Шрёдингера, основанное на теории возмущений по малому параметру нелинейности. С использованием этого приближения получены аналитические выражения для коэффициентов модели первого порядка в случае гауссовой формы пульсов. Проведен ряд численных экспериментов по исследованию структуры матрицы коэффициентов. Установлено, что данная матрица хорошо приближается малым рангом при условии отсутствия затухания и усиления. Кроме того, выявлено, что при учете эффектов затухания и усиления сигнала ранг матрицы, приближающей исходную матрицу с фиксированной погрешностью, больше, чем в экспериментах без затухания. Исследования подтверждают, что учет симметрии матрицы и ее приближение малым рангом позволяют снизить вычислительную сложность алгоритма фильтрации нелинейных искажений для одного символа с O(N²) до O(RN ln N), где N — размер матрицы, а R — ее ранг. Библ. 17. Фиг. 6.

Аналог характеристической функции, известный из теории вероятностей и математической статистики, применяется для вычисления моментов инерции (интегралов инерции) произвольного порядка. В качестве примеров рассматриваются тела, ограниченные прямоугольным параллелепипедом, эллипсоидом, а также произвольным тетраэдром. Библ. 18. Фиг. 3.