CONVERGENCE OF EIGENELEMENTS OF A STEKLOV-TYPE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE LAME OPERATOR IN A SEMI-CYLINDER WITH A SMALL CAVITY

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

A Steklov-type boundary value problem for the Lame operator in a semi-cylinder containing a small cavity is investigated. The case is considered when an elastic, homogeneous isotropic medium filling a region with a small cavity is rigidly coupled to the lateral boundary of a semi-cylinder and the boundary of a small cavity, which corresponds to a homogeneous Dirichlet boundary condition, and the Steklov spectral condition is set on the basis of the semi-cylinder. The main result consists in proving a theorem on the convergence of the eigenelements of such a singularly perturbed boundary value problem to the eigenelements of the limiting problem (in a semi-cylinder without a cavity) with a small parameter ε > 0 tending to zero, characterizing the diameter of the cavity. To prove the theorem, a Hilbert space of infinitely differentiable vector functions with a finite Dirichlet integral over a semicylinder was introduced. In contrast to the situation with a limited domain, in the boundary value problem under study, the condition of finiteness of the Dirichlet integral is essential, since it generally ensures finiteness of the norm in the introduced space. The restriction on the finiteness of the Dirichlet integral made it possible to establish a priori estimates that guarantee the uniqueness of solutions to the limiting and perturbed boundary value problems and to establish the equivalence of norms necessary to prove the existence of a solution to the singularly perturbed boundary value problem under study.

About the authors

D. B. Davletov

Ufa University of Science and Technology

Email: darbevab@mail.ru
Ufa, Russia

O. B. Davletov

Ufa State Petroleum Technological University

Email: davolegus@mail.ru
Ufa, Russia

R. R. Davletova

SCC "Mathematics and Computer Science"; Ufa branch of the Financial University under the Government of the Russian Federation

Email: rtqa189@mail.ru
Ufa, Russia

A. A. Ershov

Krasovsky Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin

Email: ale10919@yandex.ru
Ekaterinburg, Russia; Ekaterinburg, Russia

References

  1. Бочкарёв С.А., Матвеенко В.П. Анализ собственных колебаний цилиндрической оболочки переменной толщины, частично заполненной жидкостью // Тр. ИММ УрО РАН. 2023. Т. 29. № 2. С. 27.
  2. Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Собственные колебания композитных эллиптических цилиндрических оболочек с жидкостью // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24. № 1. С. 71.
  3. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000.
  4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  5. Самарский А.А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // Докл. АН СССР. 1948. Т. 63. № 6. С. 631.
  6. Днестровский Ю.Н. Об изменении собственных значений при изменении границы областей // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1964. № 9. С. 61.
  7. Swanson С.A. Asymptotic variational formulae for eigenvalues // Canad. Math. Bull. 1963. V. 6. № 1. P. 15–25.
  8. Ozawa S. Singular Hadamard’s variation of domains and eigenvalues of the Laplacian // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1980. V. 56. P 306–310.
  9. Ozawa S. Singular Hadamard’s variation of domains and eigenvalues of the Laplacian. II // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1981. V. 57. P. 242–246.
  10. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об однородных решениях задачи Дирихле во внешности тонкого конуса // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 6. C. 281.
  11. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48. № 2. С. 347.
  12. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. № 2. С. 119.
  13. Chiado Piat V., Nazarov S.A. Steklov spectral problems in a set with a thin toroidal hole // Partial Differential Equations in Applied Mathematics. 2020. V. 1. Article 100007.
  14. Назаров С.А. Пластина Кирхгофа с условиями Винклера-Стеклова на малых участках кромки // Алгебра и анализ. 2024. Т. 36. № 3. С. 165.
  15. Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 1086.
  16. Ильин А.М. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. В кн.: Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1981. С. 57–82.
  17. Ozawa S. An asymptotic formula for the eigenvalues of the Laplacian in a Domain with a small hole // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1982. V. 58. № 1. P. 5–8.
  18. Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole: A functional analytic approach // Analysis (Germany). 2008. V. 28. Iss. 1. P. 63–93.
  19. Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of a transmission problem for the Helmholtz equation: A functional analytic approach // Math. Meth. Appl.Sci. 2022. V. 45. Iss. 9. P. 5360–5387.
  20. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. С.-Петербургского матем. об-ва. 1998. Т. 6. С. 151.
  21. Давлетов Д.Б. Сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле для стационарной системы линейной теории упругости // Изв. вузов. Матем. 2008. № 12. С. 7.
  22. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1847.
  23. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственного значения двумерной краевой задачи Дирихле для оператора Ламе в области с малым отверстием // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 4. С. 537.
  24. Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б., Давлетова Р.Р., Ершов А.А. О собственных элементах двумерной краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки. 2023. Т. 33. Вып. 1. С. 54.
  25. Borcea J., Shapiro B. Root asymptotics of spectral polynomials for the Lame operator // Comm. Math. Phys. 2007. V. 282. P. 323–337.
  26. Haese-Hill W.A., Hallnas M.A., Veselov A.P. On the spectra of real and complex Lame operators // Symmetry Integrability and Geometry-methods and Applications. 2016. V. 13. № 049. 23 p.
  27. Volkmer H. Eigenvalue problems for Lame’s differential equation // Symmetry Integrability and Geometry-methods and Applications. 2018. V. 14. № 131. 21 p.
  28. Chen Zh., Fu E., Lin Ch. Spectrum of the Lame operator and application, I: Deformation along Reτ=12 // Adv. Math. 2021. V. 383. Article 107699.
  29. Chen Zh., Lin Ch. Spectrum of the Lame operator and application, II: When an endpoint is a cusp // Comm. Math. Phys. 2020. V. 378. P. 335–368.
  30. Nadeem Ya., Ali A. On singularities of solution of the elasticity system in a bounded domain with angular corner points // Math. Meth. Appl. Sci. 2022. V. 45. № 5. P. 3124–3143.
  31. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднения в задачах теории упругости. Л.: изд-во ЛГУ, 1984.
  32. Chechkina A.G., D’Apice C., De Maio U. Rate of convergence of eigenvalues to singularly perturbed Steklov-type problem for elasticity system // Applicable Analysis. 2019. V. 98. № 1–2. P. 32–44.
  33. Назаров С.А. Влияние условий Винклера–Стеклова на собственные колебания упругого весомого тела // Уфимск. матем. ж. 2024. Т. 16. Вып. 1. С. 54.
  34. Gomez D., Nazaro, S.A., Perez M.E. Homogenization of Winkler–Steklov spectral conditions in three-dimensional linear elasticity // Z. Angew. Math. Phys. 2018. V. 69. Article 35.
  35. Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б., Давлетова Р.Р., Ершов А.А. Сходимость собственных элементов краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27. № 1. С. 37.
  36. Давлетов Д.Б., Кожевников Д.В. Задача типа Стеклова в полуцилиндре с малым отверстием // Уфимск. матем. ж. 2016. Т. 8. № 4. С. 63.
  37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т). Т. VII. Теория упругости. М.: Физматлит, 2003.
  38. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.
  39. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
  40. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  41. Мазья В.Г. Пространства Соболева. Л.: ЛГУ, 1985.
  42. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences