Неклассическая задача оптимального управления с операторными гистерезисными нелинейностями

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается неклассическая задача оптимального управления, в которой динамика объекта описывается системой дифференциально-операторных уравнений с гистерезисным преобразователем в правой части. Гистерезисная зависимость формализуется посредством аналога преобразователя Прейзаха с инвертированными пороговыми числами, что отражает нелинейную и неоднозначную зависимость покупательского спроса от цены товаров. Это позволяет учитывать “историю” потребительских отношений на конечном временном интервале. Поставлена и решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции на монотоварном рынке в условиях гистерезисной функции спроса. Указанная задача решалась с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина. Описаны условия, при которых решение единственно. Демонстрируются результаты вычислительных экспериментов, в рамках которых идентифицируются оптимальные управляющие воздействия для модельного случая.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

С. В. Борзунов

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет»

Email: mkl150@mail.ru
Россия, Воронеж

П. А. Мелешенко

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет»

Email: mkl150@mail.ru
Россия, Воронеж

В. А. Нестеров

ФГБОУ ВО Московский авиационный институт (национальный исследовательский ун-т)

Email: mkl150@mail.ru
Россия, Москва

М. Е. Семенов

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет»; ФГБОУ ВО Воронежский государственный технический ун-т; ФГБУН Федеральный исследовательский центр «Единая геофизическая служба Российской академии наук»

Автор, ответственный за переписку.
Email: mkl150@mail.ru
Россия, Воронеж; Воронеж; Обнинск

А. М. Соловьев

АО «Концерн «Созвездие»

Email: mkl150@mail.ru
Россия, Воронеж

Список литературы

  1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983. 392 с.
  2. Bagagiolo F. Dynamic Programming for Some Optimal Control Problems with Hysteresis // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2002. V. 9. P. 149–174.
  3. Bagagiolo F. Viscosity Solutions for an Optimal Control Problem with Preisach Hysteresis Nonlinearities // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2004. V. 10. P. 271–294.
  4. Belbas S.A., Mayergoyz I.D. Dynamic Programming for Systems with Hysteresis // Physica B. 2001. V. 306. P. 200–205.
  5. Belbas S.A., Mayergoyz I.D. Optimal Control of Dynamical Systems with Preisach Hysteresis // Intern. J. Non-Linear Mechanics. 2002. V. 37. P. 1351–1361.
  6. Carboni B., Lacarbonara W., Brewick P.T., Masri S.F. Dynamical Response Identification of a Class of Nonlinear Hysteretic Systems // J. Intelligent Material Systems and Structures. 2018. V. 29 № 13. P. 2795–2810.
  7. Lacarbonara W., Vestroni F. Nonclassical Responses of Oscillators with Hysteresis // Nonlinear Dynamics. 2003. V. 32. P. 235–258.
  8. Li Y., Zhou S., Litak G. Robust Design Optimization of a Nonlinear Monostable Energy Harvester with Uncertainties // Meccanica. 2020. V. 55. P. 1753–1762.
  9. Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семенов М.Е., Соловьев А.М. Неустойчивые колебательные системы с гистерезисом: задачи стабилизации и управления // Изв. РАН. ТиСУ. 2020. № 4. С. 58–82.
  10. Pei J.S., Carboni B., Lacarbonara W. Mem-models as Building Blocks for Simulation and Identification of Hysteretic Systems // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 100. № 2. P. 973–998.
  11. Semenov M.E., Solovyov A.M., Meleshenko P.A., Reshetova O.O. Efficiency of Hysteretic Damper in Oscillating Systems // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2020. V. 15. P. 43-1–43-14.
  12. Semenov M.E., Reshetova O.O., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. Self-oscillations in a System with Hysteresis: the Small Parameter Approach // The European Physical Journal: Special Topics. 2021. V. 230. P. 3565–3571.
  13. Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семенов М.Е. Динамика гистерезисно-связанных осцилляторов Ван-дер-Поля: метод малого параметра // Изв. РАН. ТиСУ. 2021. № 4. С. 7–26.
  14. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis // Physical Review Letters, 1986. V. 56. № 15. P. 1518–1521.
  15. Borzunov S.V., Semenov M.E., Sel’vesyuk N.I., Meleshenko P.A. Hysteretic Converters with Stochastic Parameters // Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. V. 12. № 2. P. 164-175.
  16. Semenov M.E., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. A New Way to Compute the Lyapunov Characteristic Exponents for Non-smooth and Discontinues Dynamical Systems // Nonlinear Dynamics. 2022. V. 109. P. 1805–1821.
  17. Mayergoyz I., Dimian M. Analysis of Spectral Noise Density of Hysteretic Systems Driven by Stochastic Processes // J. Applied Physics. 2003. V. 93. № 10. P. 6826–6828.
  18. Semenov M.E., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. Stochastic Preisach Operator: Definition within the Design Approach // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 101. P. 2599–2614.
  19. Brokate M., Krejčí P. Optimal Control of ODE Systems Involving a Rate Independent Variational Inequality // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2013. V. 18. № 2. P. 331–348.
  20. Cross R., McNamara H., Pokrovskii A.V., Rachinskii D. A New Paradigm for Modelling Hysteresis in Macroeconomic Flows // Physica B: Condensed Matter. 2008. V. 403. P. 231–236.
  21. Darby J., Cross R., Piscitelli L. Hysteresis and Unemployment: a Preliminary Investigation // The Science of Hysteresis / Eds G. Bertotti and I.D. Mayergoyz. Oxford: Academic Press. 2005. V. 1, Ch. 8. P. 667–699.
  22. Rios L., Rachinskii D., Cross R. A Model of Hysteresis Arising from Social Interaction Within a Firm // Journal of Physics: Conference Series. 2017. V. 811. № 1. P. 012011-1–012011-12.
  23. Rios L., Rachinskii D., Cross R. On the Rationale for Hysteresis in Economic Decisions // Journal of Physics: Conference Series. 2017. V. 811. № 1. P. 012012-1–012012-9.
  24. Borzunov S.V., Semenov M.E., Sel’vesyuk N.I., Meleshenko P.A., Solovyov A.M. Stochastic Model of the Hysteresis Converter with a Domain Structure // Mathematical Models and Computer Simulations. 2022. V. 14. № 2. P. 304–320.
  25. Cross R. Unemployment: Natural Rate Epicycles or Hysteresis? // Europ. J. Economics and Economic Policies: Intervention, Edward Elgar Publishing. 2014. V. 11. № 2. P. 136–148.
  26. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 272 с.
  27. Blanchard O., Wolfers J. The Roles of Shocks and Institutions in the Rise of European Unemployment: the Aggregate Evidence // Econ. J. 2000. V. 110. P. C1–C33.
  28. Mayergoyz I.D. The Classical Preisach Model of Hysteresis. In: Mathematical Models of Hysteresis. N.Y.: Springer, 1991. P. 1–63.
  29. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. Malabar, Florida, 1986. 576 p.
  30. Горский А.А., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 1. C. 144-148.
  31. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. ТиСУ. 2000. № 2. C. 103–107.
  32. Параев Ю.И. Двухкритериальная задача оптимального производства и сбыта товара // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 1. С. 138-141.
  33. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Серия: Классические направления в математике). М.: МЦНМО, 2014. 341 с.
  34. Fedoryuk M.V. Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations. Springer, 2012. 363 p.
  35. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. Серия: Современные проблемы математики. М.: Наука, 1966. 331 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Пример элемента пространства состояний набора неидеальных реле.

Скачать (58KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Взаимосвязь между входом и выходом преобразователя R[a,b,x0,t0] с пороговыми числами a и b.

Скачать (33KB)
Метаданные
4. Рис. 3. a – график функции c*(t ), демонстрирующей максимизацию прибыли c(t )P(t ) в момент времени t1> 0; б – состояние оператора Прейзаха в момент времени t = t1.

Скачать (88KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Модель производства и потребления товара.

Скачать (66KB)
Метаданные
6. Рис. 5. a – экстремальное значение величины A(c) при условии p2 – p1 + c > 0; б – экстремальное значение величины A(c) при условии p2 – p1 + c < 0.

Скачать (103KB)
Метаданные
7. Рис. 6. a – начальное состояние; б – зависимость p1(t ), для наглядности на панели приведены также графики функций p1(t ) ± 0.1; в – функция цены в зависимости от времени; г – функции U, Z в зависимости от времени; д – функции V, P в зависимости от времени.

Скачать (220KB)
Метаданные
8. Рис. 7. a – начальное состояние; б – зависимость p1(t ), для наглядности на панели приведены также графики функций p1(t ) ± 0.1; в – функция цены в зависимости от времени; г – функции U, Z в зависимости от времени; д – функции V, P в зависимости от времени.

Скачать (214KB)
Метаданные
9. Рис. 8. Зависимость Q от длительности периода продаж T. Начальное состояние выбрано, как на рис. 6, a. Значения параметров динамической системы: a = 10, U0 = 1, k1 = 1.0, k2 = 0.05. Количество элементарных гистеронов N = 840.

Скачать (49KB)
Метаданные
10. Рис. 9. a – начальное состояние; б – зависимость p1(t ), для наглядности на панели приведены также графики функций p1(t ) ± 0.1; в – функция цены в зависимости от времени; г – функции U, Z в зависимости от времени; д – функции V, P в зависимости от времени.

Скачать (206KB)
Метаданные
11. Рис. 10. a – начальное состояние; б – зависимость p1(t ), для наглядности на панели приведены также графики функций p1(t ) ± 0.1; в – функция цены в зависимости от времени; г – функции U, Z в зависимости от времени; д – функции V, P в зависимости от времени.

Скачать (211KB)
Метаданные
12. Рис. 11. Зависимость Q от длительности периода продаж T. Начальное состояние выбрано как на рис. 9, a. Значения параметров динамической системы: a = 10, U0 = 1, k1 = 1.0, k2 = 0.05. Количество элементарных гистеронов N = 840.

Скачать (45KB)
Метаданные
13. Рис. 12. Решение неравенства (4.3) в координатной плоскости (p1,a) для k2 = 0.05.

Скачать (108KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024