Computer simulation of long line with loss in steady harmonic mode at active load

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Задача анализа процессов в линии при передаче по ней сигналов относится к числу задач о распространении электромагнитной энергии в неоднородных средах. В большинстве случаев, идеализируя условие задачи, полагают, что электромагнитная энергия распространяется в пространстве, однородность которого нарушена лишь введением проводов. Свойства последних существенно отличаются от свойств их диэлектрической среды. При этом, также идеализируя условие задачи, в большинстве случаев полагают, что линия однородна, т.е. конструктивные данные линии (материал и диаметр проводов, из взаимное расположение и т.д.) сохраняются неизменными по всей длине линии [1–3]. Таким образом, линию рассматривают как направляющую систему, вдоль которой от передатчика к приемнику распространяется электромагнитная энергия. Подобный подход принципиально важен не только потому, что он позволяет строго сформулировать задачу анализа электромагнитного состояния рассматриваемой направляющей системы и найти правильный путь ее решения, но и дает общее физическое истолкование процессам передачи сигналов в этих системах.

Аналитическое решение соответствующей системы уравнений возможно при некоторых упрощающих предположениях. Кроме того, оконечные и промежуточные устройства линии представляют собой электрические цепи с заданными частотными (временными) характеристиками. Поэтому задача анализа процессов передачи сигналов в длинных линиях решается методами теории электрических цепей [4, 5].

Для цепи с распределенными параметрами характерны неодинаковые токи в различных ее точках вследствие наличия токов смещения между отдельными частями цепи и токов проводимости из-за несовершенной изоляции. При этом сами цепи характеризуют их параметрами, а процессы в них – напряжениями и токами, которые зависят от двух переменных: временной и пространственной координаты [6].

Известно, что для получения соотношений, определяющих процессы в длинных линиях, используют первичные параметры: сопротивление проводов R₀ (Ом/км), их индуктивность L₀ (Гн/км), проводимость изоляции G₀ (1/Ом·км), емкость проводов С₀ (Ф/км) [7]. Физически эти параметры представляют те же свойства цепи, что и в цепях с сосредоточенными параметрами.

На практике в отдельных случаях некоторые первичные параметры можно не принимать во внимание. Например, для короткого отрезка линии с высококачественной изоляцией между проводами практически выполняется допущение G0 = 0. Такие линии применяются для соединения радиоприемников и передатчиков с антенной, в качестве линии задержки сигнала.

ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим участок с электрической тягой на переменном токе вдоль железнодорожного полотна, на которой расположены контактные провода и питающие их высоковольтные линии. К решению задачи применим теорию цепей, приняв некоторые допущения:

– неизменность по всей длине линии конструктивных и электрических характеристик (материала, поперечного сечения проводов, их взаимного расположения, диэлектрической проницаемости среды, температуры и т. д.);

– геометрические размеры линии в поперечном сечении малы по сравнению с длиной волны колебания, проходящего по ней;

– длина линии намного превышает расстояние между проводниками.

Известно, что напряжение и ток в любой точке линии являются функциями как времени t, так и расстояния x от одного из конца линии. Для решения задачи о распределении токов и напряжений в однородной линии, являющихся функциями этих двух независимых переменных, составим дифференциальные уравнения, связывающие в некоторый момент мгновенные значения токов и напряжений в элементе линии длиной dx, удаленном на расстояние x от начала линии.

Пусть известны параметры однородной цепи (линии), отнесенные к единице ее длины: R₀, L₀, G₀, C_0. Обозначим мгновенные значения напряжения и тока в начале рассматриваемого элемента линии dx соответственно через u и i, а вначале следующего элемента – через $u+\frac{\partial u}{\partial x}dx$  и $i+\frac{\partial i}{\partial x}dx$, выбрав положительные направления тока и напряжения (Рис. 1).

Рис. 1. Г-образная схема замещения однородной длинной линии

На основании второго закона Кирхгофа для элемента линии длиной dx можно записать следующее уравнение:

$u-(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)=i R_{0}dx+L_0\frac{\partial i}{\partial t}dx$   (1)

Данное уравнение содержит частные производные по времени $\frac{\partial i}{\partial t}$ и по пространственной координате $\frac{\partial u}{\partial x}$.

Преобразуем, разделим все выражение на dx, получим первое телеграфное уравнение

$-\frac{\partial u}{\partial x}=i R_0+L_0\frac{\partial i}{\partial t},$   (2)

т.е. скорость изменения напряжения вдоль линии зависит как от тока, так и от скорости его изменения.

Теперь воспользуемся первым законом Кирхгофа для узла 1:

$i-i_G-i_C-i-\frac{\partial i}{\partial t}dx=0,$   (3)

где  $i_G$– ток через проводимость изоляции между проводами, равный

$i_G=G_{0}dx(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)\approx G_{0}dx·u,$   (4)

так как  $\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)$– пренебрежимо мало.

Известно, что ток через конденсатор i_C определяется выражением

 $i_C=C\frac{\partial u}{\partial t}.$                                                                         

В нашем случае

$i_C=C_{0}dx\frac{\partial }{\partial t}(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)\approx C_{0}dx\frac{\partial u}{\partial t}, \left(5\right)$

так как  $\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)$– пренебрежимо мало.

Подставляя последних два выражения в первый закон Кирхгофа для узла 1, получим

$-G_{0}dx·u-C_{0}dx·\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial i}{\partial t}dx=0. \left(6\right)$

Разделим это выражение на dx и выразим частную производную по току и получим второе телеграфное уравнение:

$-\frac{\partial i}{\partial t}=G_0·u+C_0·\frac{\partial u}{\partial t}, \left(7\right)$

т.е. скорость изменения тока зависит от величины падения напряжения и от скорости его изменения.

Уравнения (2) и (7) называются телеграфными, так как впервые были получены для линий телеграфной связи. Эти уравнения носят универсальный, всеобщий характер [8].

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их аналитическое решение для произвольных сопротивлений генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы отсутствует. Положение существенно упрощается, если решать телеграфные уравнения для установившегося режима гармонических колебаний в линии. Дело в том, что для этого режима заранее известен закон изменения напряжений и токов во времени в любом сечении линии. Из телеграфных уравнений остается найти лишь законы изменения с расстоянием x амплитуд и начальных фаз колебаний. Поскольку последние зависят лишь от одной переменной х, телеграфные уравнения переходят из уравнений в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения, что ведет к существенному упрощению их решения.

ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Основываясь на спектральном методе анализа процессов в линейных цепях, ограничимся случаем гармонического воздействия на входе линии. При этом использование символического метода расчета гармонических напряжений и токов в длинной линии позволяет ограничиться рассмотрением производных только по одной пространственной координате $(\frac{d\dot{U}}{dx},\frac{d\dot{I}}{dt})$  [9, 10]. Следовательно, данный метод анализа позволяет описывать волновые процессы в длинной линии с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений [11, 12].

Воспользуемся символическим методом анализа гармонических колебаний, для чего обозначим комплексные напряжения и токи в начале и в конце отрезка $\dot{U}$, $\dot{I}$, $\dot{U}+d\dot{U}, \dot{I}+d\dot{I}$ 

Тогда телеграфные уравнения примут вид:

$-\frac{d\dot{U}}{dx}=R_0·\dot{I}+j\omega L_0·\dot{I}=\dot{I}(R_0+j\omega L_0), \left(8\right)$

Здесь $\underline{Z_0}=(R_0+j\omega L_0)$ – продольное комплексное сопротивление. Тогда получим первое телеграфное уравнение при установившемся режиме гармонического переменного тока:

$-\frac{d\dot{U}}{dx}=\dot{I}·\underline{Z_0.} \left(9\right)$

Для тока

 $-\frac{d\dot{I}}{dt}=G_0·\dot{U}+j\omega C_0·\dot{U}=\dot{U}(G_0+j\omega C_0), \left(10\right)$

В формуле (10) величина $\underline{Y_0}=(G_0+j\omega C_0)$ – поперечная комплексная проводимость.

Отсюда второе телеграфное уравнение в комплексном виде:

$-\frac{d\dot{I}}{dt}=\dot{U}·\underline{Y_0}. \left(11\right)$

Распространение волны напряжения вдоль линии характеризуется двумя вторичными параметрам коэффициент распространения $\underline{\gamma }$ и волновое сопротивление $\underline{Z_B}$:

$\underline{\gamma }=\sqrt{\underline{Z_0·\underline{Y_0}}}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}=\alpha +j\beta , \left(12\right)$

где $\alpha$ – коэффициент затухания,

 $\beta$  – коэффициент фазы.

$\underline{\underline{Z_B}}=\sqrt{\frac{\underline{Z_0}}{\underline{Y_0}}}=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}. \left(13\right)$

При этом фаза

${\phi }_B=\frac{1}{2}\left[arctg\left(\frac{\omega L_0}{R_0}\right)-arctg(\frac{\omega C_0}{G_0}\right] \left(14\right)$

Отсюда можно определить предельные значения этих параметров частных случаев (на постоянном токе и при бесконечно большой частоте):

• при $\omega =\infty$ и при $\omega =0$ фаза будет равна нулю: ${\phi }_B=0$;
• при $\omega =0$ волновое сопротивление равно ${\rho }_H$:

$\underline{Z_B}=\sqrt{\frac{R_0}{G_0}}={\rho }_H; \left(15\right)$

• при $\omega =\infty$ волновое сопротивление:

$\underline{Z_B}=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}=\rho . \left(16\right)$

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОГРАММНОЙ СРЕДЕ MULTISIM

Компьютерное моделирование осуществлялось в программной среде Muttisim 11 [13]. Программа позволяет подключать к разработанной в ее среде схеме виртуальные инструменты, которые представляют собой программные модели контрольно-измерительных приборов, соответствующих реальным. Использование виртуальных приборов в Multisim - это простой и понятный метод взаимодействия со схемой, почти не отличающийся от традиционного при тестировании или создании радиоэлектронного устройства. Multisim предоставляет большое количество виртуальных инструментов, которые можно использовать для измерений и исследования поведения разрабатываемых электрических схем.

Схема (Рис. 2) содержит встроенную модель длинной линии с потерями (LOSSY_TRANSMITTION_LINE, группа Misc). Первичные параметры линии имеют следующие значения: R₀=0,1 Ом/км; L₀=1 мкГн/м; G₀=0 См/м; C₀= 1 пФ/м.

Рис. 2. Компьютерная модель длинной линии в 1 м

Гармонический сигнал генератора амплитудой 1 В подается в начало (вход) линии длиной 1 м. На конце линии (выходе) включена активная нагрузка R_H. Высокочастотный вольтметр V1 измеряет действующее значение входного сигнала, а мгновенное значение отображается по каналу «А» осциллографа.

Выходной сигнал можно снимать через каждые 62,5 мм, т.е. линия разбита на 16 одинаковых участков, пронумерованных от конца. Подключение к исследуемой точке реализуется с помощью трех 6-позиционных переключателей А, В, С, соединенных последовательно. В крайне левом положении ключа А происходит его соединение с ключом В, а затем в крайне левом положении ключа В происходит его соединение с ключом С. Таким образом, высокочастотный вольтметр V2 измеряет действующее значение напряжения в точке линии, соответствующей положению ключей, а мгновенное значение отображается по каналу «В» осциллографа.

Вначале определим частоту генератора, при которой длина линии будет равна половине длине волны. Для этого, наблюдая сигнал на осциллографе (Рис. 3), изменяли частоту генератора: входное и выходное напряжения должны оказаться в противофазе. Данный способ достаточно точный, однако требует наличие высокочастотного осциллографа и при большой длине линии возникают затруднения, т.к. требуется одновременное подключение к началу и концу линии. Эта частота составляет 500 МГц.

Рис. 3. Осциллограмма входного и выходного напряжений при 

Альтернативным способом определения частоты генератора, при которой длина линии будет равна половине длине волны, является следующий способ: при холостом ходе на конце линии подбирают такую частоту генератора, при которой показания V1 будут близкими к нулю. Данная частота будет соответствовать четвертьволновой линии. Следовательно, полученное значение частоты надо увеличить в два раза. Этот способ не так точен, но проще в реализации на практике, т.к. не требует доступа к концу линии [14].

Для исследования линии в согласованном режиме, используя исходные данные (L₀=1 мкГн/м; C₀= 1 пФ/м) и пренебрегая потерями, рассчитаем волновое сопротивление линии:

$\underline{Z_B}=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}=1000 \frac{Ом}{км}. \left(17\right)$

Задаем полученное значение резистору $R_H$, с помощью переключателей меняем подключение вольтметра V₂, проводим измерения напряжения во всех точках линии, начиная с конца.

Далее повторяем измерения при следующих режимах:

- значение R_H в 2 раза меньше ;

- значение R_H в 2 раза больше ;

- значение R_H=1 ГОм (холостой ход).

Результаты измерений представлены в Табл.

Таблица. Результаты эксперимента

Зависимости распределения действующих значений напряжений вдоль линии для всех исследованных режимов представлены на Рис. 4.

Рис. 4. Зависимость напряжения U2 от расстояния до конца линии

Проанализируем полученные результаты:

1. График действующего значения напряжения U₂ в режиме холостого хода наглядно иллюстрирует режим стоячих волн в линии без потерь. Как видно из рис. 3 узлы и пучности напряжения неподвижны.

Известно, что для линии без потерь вторичные параметры определяются следующим образом:

$\gamma =j\beta =j\omega \sqrt{LC}, \alpha =0; \left(18\right)$

$\underline{Z_B}=\sqrt{\frac{L}{C}}. \left(19\right)$

Коэффициент распространения в этом случае оказывается чисто мнимой величиной. Учитывая, что $\gamma =j\beta$ и $e^{\gamma l}=e^{j\beta l}$, то выражения для сумм напряжений и токов падающей и отраженных волн примут вид

${\dot{U}}_0={\dot{U}}_l e^{j\beta l}\frac{1+\eta e^{-j2\beta l}}{1+\eta }; \left(20\right)$

 ${\dot{I}}_0=\frac{{\dot{U}}_l}{\underline{Z_B}} e^{j\beta l}\frac{1-\eta e^{-j2\beta l}}{1+\eta }. \left(21\right)$

Характерным для линий без потерь является чисто активное их волновое сопротивление, а фазовая скорость $\nu =\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{LC}$ не зависит от частоты тока.

Как известно, в режиме холостого хода на конце нет приемника. Поскольку в самой линии потерь нет, энергия падающей волны при отсутствии приемника на конце израсходована быть не может и полностью возвращается в виде отраженной волны.

В установившемся режиме в линии с разомкнутыми или замкнутыми концами одновременно существуют два равных по значению потока энергии, движущихся во встречных направлениях. Энергия, воспринятая линией от генератора, через время $t=\raisebox{1ex}{$2l$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\nu $}\right.$ возвращается обратно в генератор. Распределение напряжения и тока вдоль линии при этом определяется соотношениями (с учетом $\eta =1$):

${\dot{U}}_x={\dot{U}}_l\frac{e^{j\beta (l-x)}+e^{-j\beta (l-x)}}{2}={\dot{U}}_l\cos \beta \left(l-x\right); \left(22\right)$

${\dot{I}}_x=j \frac{{\dot{U}}_l}{\sqrt{{\displaystyle \frac{L}{C}}}}\sin \beta \left(l-x\right). \left(23\right)$

Из этих выражений следует, что каждой точке линии соответствуют свои значения ${\dot{U}}_x$ и ${\dot{I}}_x$. При этом, при одних x они достигают максимума ${\dot{U}}_l$ и ${\dot{I}}_l$, а при других – нуля. Эти выражения определяют режим стоячих волн в линии. В практике такой режим характерен для радиоантенн.

Со стороны входа линия ведет себя как реактивное сопротивление и значение его определяется как $\raisebox{1ex}{${\dot{U}}_0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\dot{I}}_0$}\right.=j X_{BX}.$ При холостом ходе

$\raisebox{1ex}{${\dot{U}}_0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\dot{I}}_0$}\right.=j\sqrt{\raisebox{1ex}{$L$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$C$}\right.}·ctg\beta l. \left(24\right)$

При $\beta l=\frac{2\mathrm{\pi }}{\lambda l}=\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$, что соответствует $l=\raisebox{1ex}{$\lambda $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$ (четвертьволновый отрезок линии), при этом входное сопротивление разомкнутого отрезка линии $l=\raisebox{1ex}{$\lambda $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$ равно нулю: $\underline{Z_{BXXX}}=0$ .

2. В режиме согласованной нагрузки (режим бегущей волны) в линии существует только прямая волна. На Рис. 3 видим, что действующее значение напряжения U₂ практически не меняется [15].

В этом режиме $\underline{Z_H}=\underline{Z_B}$, коэффициент отражения $\eta =0.$ В линии нет отраженных волн, поэтому в соотношениях, определяющих связи между напряжениям и токами, пропадают слагаемые, соответствующие этим волнам.

Тогда выражения (20) и (21) примут вид:

 $\dot{U_0}=\dot{U_l} e^{\gamma l};$                                                                        

 $\dot{I_0}=\dot{I_l} e^{\gamma l}.$                                                                         

Входное сопротивление

$\underline{Z_{BX}}=\frac{\dot{U_0}}{{\dot{I}}_0}={\underline{Z}}_B. \left(25\right)$

3. При произвольной нагрузке (Z_В/k, Z_В·k) действующее значение напряжения меняется $U_{min}<U<U_{max}.$

В этом случае, при $l=\raisebox{1ex}{$\lambda $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$, $\beta l=\frac{2\mathrm{\pi }}{2 e^{-j2\beta l}}=e^{-j\mathrm{\pi }}=-1$.

Тогда выражения (20) и (21) примут вид:

$\dot{U_0}={\dot{U}}_l e^{j\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{1-\eta }{1+\eta }; \left(26\right)$

$\dot{I_0}=\frac{\dot{U_l}}{\underline{Z_B}} e^{j\frac{\mathrm{\pi }}{2}}. \left(27\right)$

Отсюда входное сопротивление

$\underline{Z_{BX}}=\frac{\dot{U_0}}{\dot{I_0}}=\frac{{\underline{Z}}_B^2}{R_H}. \left(28\right)$

Таким образом, четвертьволновая линия без потерь может быть использована как трансформатор для согласования сопротивлений.

ВЫВОДЫ

Исследование различных режимов работы линий с распределенными параметрами является одной из важнейших задач развития современных энергетических систем. Подобные исследования могут проводится в полевых условиях, с применением физического эксперимента или с помощью компьютерного моделирования. В рамках учебного процесса студентов энергетических специальностей транспортных ВУЗов необходимо учитывать применимость того или иного метода. Предлагаемый метод исследования длинной линии с помощью программного продукта Multisim в отличие от первого варианта, который достаточно сложен в реализации и во многих случаях – не выполним, позволяет исследовать длинную линию в разных режимах. В данной статье проведены исследования режимов согласованной и различной активной нагрузки, а также холостой ход; проведен анализ и корреляция с теоретическими выкладками полученных экспериментальных зависимостей действующего напряжения от расстояния до конца линии. Не ограничиваясь данными исследованиями, разработанная модель позволяет выполнить исследования и в других режимах, например, таких как короткое замыкание, реактивная нагрузка и т.д., а также предусмотреть различные влияющие факторы и исследовать переходные процессы. Результаты, изложенные в данной статье, могут быть использованы в учебном процессе студентов для создания на их основе виртуальных лабораторных работ по компьютерному моделированию различных режимов работы однородной длинной линии.

Автор заявляет, что настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

About the authors

Victoria V. Krivorotova

Author for correspondence.
Email: vvk_xapga@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0801-9112
SPIN-code: 6566-5620

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure 1. L-shaped equivalent circuit for a uniform long line

Download (72KB)

Indexing metadata

3. Figure 2. Computer model of a long line of 1 m

Download (98KB)

Indexing metadata

4. Figure 3. Oscillogram of input and output voltages at 

Download (167KB)

Indexing metadata

5. Figure 4. Dependence of voltage U2 on the distance to the end of the line

Download (64KB)

Indexing metadata