Adaptive STSMO with fuzzy logic for sensorless control of permanent magnet synchronous motors

Full Text

Введение

В таких сферах, как электрическая тяга и высокоточное станкостроение, к системам управления предъявляются высокие комплексные требования. Они касаются не только характеристик двигателей, но и таких параметров, как компактность и стоимость системы. Высокоточное управление двигателем невозможно без информации о текущем положении ротора. Однако в классических системах векторного управления этот параметр традиционно получают с помощью дорогостоящих высокоточных датчиков [1]. Использование механических датчиков положения, чувствительных к температуре, влажности, вибрациям и физическим повреждениям, не только увеличивает габариты и сложность системы электропривода, но и снижает ее надежность. Поэтому применение бездатчиковых технологий управления синхронными двигателями с постоянными магнитами представляется перспективным решением, которое позволяет повысить помехоустойчивость и общую надежность двигателя.

Бездатчиковое управление STSMO

Наблюдатель скользящего режима (SMO) – это алгоритм бездатчикового управления, построенный на точной математической модели двигателя. На основе оценки ошибки тока формируется механизм управления скользящим режимом, обеспечивающий устойчивость системы на поверхности скольжения [2, 3]. Его ключевым преимуществом является высокая робастность [4, 5], однако он подвержен таким недостаткам, как высокочастотные колебания и замедленная динамика системы [6]. В данной статье для решения проблемы медленного динамического отклика предлагается STSMO.

Для традиционного управления скользящим режимом причинами чаттеринга являются как временное, так и пространственное запаздывание переключения временное запаздывание, обусловленное инерционностью системы и невозможностью мгновенного выполнения команд, препятствует идеальной реализации скользящего движения (поверхность скольжения s), порождая пилообразную траекторию и вибрации.

Поэтому oдним из ключевых вызовов при проектировании дискретных систем управления часто остается подавление чаттеринга в скользящем режиме.

Для решения указанных проблем в настоящее время применяются следующие основные методы подавления чаттеринга:

1. Метод скользящих мод.

Подавление эффекта чаттеринга достигается либо введением новой поверхности скольжения со специальными свойствами, либо аппроксимацией разрывной функции управления непрерывной функцией насыщения, что смягчает процесс переключения и устраняет высокочастотные колебания [7, 8].

2. Метод достижения закона.

Для традиционного управления скользящим режимом стандартные алгоритмы приближения (постоянная скорость, экспоненциальный, степенной) не обеспечивают быстрое приближение к поверхности скольжения и вызывают чаттеринг. В работах [9, 10] реализованы новые законы приближения, эффективно снижающие перерегулирование и чаттеринг.

3. Метод высшего скользящего режима.

Этот метод позволяет устранить дроссельный эффект без потери робастности. При этом система обеспечивает сходимость не только скользящей переменной, но и ее производных, перенося разрывное управляющее воздействие на производные высших порядков. Алгоритм, разработанный Левантом в 1990-х гг, стал ключевым фактором в развитии и популяризации теории высшего скользящего режима.

Стратегия управления STSMO является одним из видов управления скользящим режимом второго порядка позволяет траектории движения системы спирально сходиться к началу координат за конечное время. Пусть переменная скольжения равна σ, поверхность скольжения равна σ=dσ=0.Фазовый портрет системы представлен на Рис. 1. Переменная скольжения σ, как правило, определяется как функция ошибки слежения. При управлении скользящим режимом второго порядка путем соответствующего синтеза обеспечивается сходимость σ и ее первой производной к нулю за конечное время; что, в свою очередь, означает сходимость к нулю за конечное время ошибки системы и ее производной.

 

Рис. 1. Фазовый портрет STMO алгоритма

Fig. 1. Phase portrait of the STMO algorithm

 

Ключевое отличие супер-скручивающего алгоритма скользящего режима от других алгоритмов высшего скользящего режима заключается в том, что для этого требуется только информация о переменной скольжения, а при этом производные переменной скользящего режима не используются.

Что касается наблюдателя супер-твистингового типа, предположим:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=-k_1\left|s{|}^{r}sign\right(x_1-{x_1}^{*})+x_2+p_1(x,t)\\ \frac{d{x}_2}{dt}=-k_{2}sign(x_1-{x_{{}^1}}^{*})+p_2(x,t)\end{array}\right.$ (1)

Здесь $x_i$ – компонента вектора состояния системы, $i=\mathrm{1,2};$ $x^{*}$ –истинное значение данной компоненты; $k_i,i=\mathrm{1,2}$ – коэффициенты усиления скользящего режима, причем все они положительны; r – заданный коэффициент, принимающий значение 0 < r <   0,5;  – члены возмущений. Согласно литературе [11], если $p_1,p_2$ удовлетворяют следующим условиям:

$\left|P_1\right|\le c|x_1{|}^{\frac{1}{2}},p_2\le c$ (2)

Здесь c ≥ 0, то есть ограничивается диапазон возмущений $p_{\mathrm{1,}}{p}_2;$

Тогда $x_{\mathrm{1,}}{x}_2=0$ [11] является точкой равновесия системы, и если коэффициенты усиления скользящего режима удовлетворяют следующим условиям:

$\left\{\begin{array}{l}{k}_1>2c\\ k_2>k_1\frac{5c{k}_1+6c_2+4{(c+\frac{c}{k_1})}^2}{2(k_1-2c)}\end{array}\right.$ (3)

Система будет стабильно сходиться к началу координат за конечное время.

Уравнения напряжения в стационарной системе координат α-β для синхронных двигателей с поверхностным расположением магнитов получены при пренебрежении насыщением магнитопровода, гистерезисом и вихревыми токами:

$\left[\begin{array}{l}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=R_s\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]+L_s\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]$ (4)

И преобразуем его уравнение состояния тока в:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]=-\frac{R_s}{L_s}\left[\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_s}\left[\begin{array}{l}{u}_{\alpha }-E_{\alpha }\\ u_{\beta }-E_{\beta }\end{array}\right]$ (5)

$\left[\begin{array}{l}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]=w_e{\phi }_f\left[\begin{array}{l}-\sin {\theta }_e\\ \cos {\theta }_e\end{array}\right]$ (6)

Здесь $I_a,I_{\beta }$ – составляющие тока статора по осям α, β соответственно $u_{\alpha },u_{\beta }$ – составляющие напряжения статора по осям α, β; $R_{s,}{L}_s$ – активное сопротивление и индуктивность статора; $E_a{E}_{\beta }$ – составляющие противо-ЭДС по осям α, β; $w_e$ – угловая скорость ротора; ${\phi }_f$ – потокосцепление постоянных магнитов; ${\theta }_e$ – угловое положение ротора.

Из полученного уравнения следует, что противо-ЭДС пропорциональна скорости вращения ротора и содержит информацию об угле его положения ${\theta }_e$.

${\theta }_e=w_{e}t$ (7)

На основе модели двигателя строится модель наблюдателя скользящего режима соответствующего порядка:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{\widehat{I}}_{\alpha }\\ {\widehat{I}}_{\beta }\end{array}\right]=-\frac{R_s}{L_s}\left[\begin{array}{l}{\widehat{I}}_{\alpha }\\ {\widehat{I}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_s}\left[\begin{array}{l}{u}_{\alpha }-E_{\alpha }\\ u_{\beta }-E_{\beta }\end{array}\right]$ (8)

Здесь: ${\widehat{I}}_i,i=a,\beta$ оценки тока статора по осям α, β соответственно.

На основе уравнений (1) и (8) система может быть представлена в виде наблюдателя сверхскользящего режима (STMO) следующего вида:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{\widehat{I}}_{\alpha }\\ {\widehat{I}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-k_1\left|s{|}^{r}sign\right(s_a)-\int k_{2}sign\left(s_a\right)dt+p_1\\ -k_1\left|s{|}^{r}sign\right(s_{\beta })-\int k_{2}sign\left(s_{\beta }\right)dt+p_2\end{array}\right]$ (9)

Здесь: $s_i={\widehat{I}}_i-I_i,i=a,\beta ,$ поверхность скольжения.

где члены возмущений:

$\left[\begin{array}{l}{p}_1\\ p_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\frac{(u_a-R_s{\widehat{I}}_a)}{L_s}\\ \frac{(u_{\beta }-R_s{\widehat{I}}_{\beta })}{L_s}\end{array}\right]$ (10)

Задавая в уравнении (3) параметр с таким образом, чтобы он удовлетворяло условиям устойчивости, и если он достаточно велик то и, условия устойчивости обязательно выполняются. Таким образом, вычитая уравнение (9) из уравнения (4), получаем уравнение состояния ошибки тока по осям α,β:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_{\alpha }\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]=-\frac{R_s}{L_s}\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_a\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_s}\left[\begin{array}{l}{E}_a-k_1\left|s{|}^{r}sign\right(s_a)-\int k_{2}sign\left(s_a\right)dt\\ E_{\beta }-k_1\left|s{|}^{r}sign\right(s_{\beta })-\int k_{2}sign\left(s_{\beta }\right)dt\end{array}\right]$ (11)

Здесь ${\tilde{I}}_i={\widehat{I}}_i-I_i;i=a,\beta$, – ошибки тока по соответствующим осям.

Согласно принципу скользящего режима, если ошибка скользящего режима равна нулю, тогда система достигает поверхности скольжения, при этом имеем:

$\frac{ds}{dx}=\frac{d}{dx}\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_a\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]=s=\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_a\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]=0$ (12)

В этот момент противо-ЭДС будет:

$\frac{ds}{dx}=\frac{d}{dx}\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_a\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]=s=\left[\begin{array}{l}{\tilde{I}}_a\\ {\tilde{I}}_{\beta }\end{array}\right]=0$ (13)

Из-за наличия высших гармоник и пульсаций, создаваемых инвертором с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) с управлением, сигнал необходимо обрабатывать фильтром нижних частот (ФНЧ) частота среза должна удовлетворять:

$W_h<W_c<W_f$ (14)

Здесь $W_c$ – частота среза; $W_h$ – номинальная частота двигателя; $W_f$ – частота переключения IGBT-ключей в ШИМ модуляторе.

После фильтрации ФНЧ для устранения высокочастотных пульсаций, окончательная оценка противо-ЭДС:

$\left[\begin{array}{l}{\widehat{E}}_a\\ {\widehat{E}}_{\beta }\end{array}\right]=\frac{w_c}{s+w_c}\left[\begin{array}{l}{E}_a\\ E_{\beta }\end{array}\right]$ (15)

Здесь $\widehat{E}$ – противо-ЭДС, оцененная с помощью низкочастотного фильтр; $E$ – противо-ЭДС, полученная от наблюдателя скользящего режима (STMO); $S$ – комплексная переменная в преобразовании Лапласа для описания передаточной функции низкочастотного фильтра.

Угол положения рассчитывается по противо-ЭДС:

$\widehat{\theta }=\arctan (-\frac{{\widehat{E}}_a}{{\widehat{E}}_{\beta }})$ (16)

ФНЧ вызывает фазовую задержку, требующую компенсации для повышения точности оценки скорости и положения ротора:

$\tilde{\theta }=\arctan (-\frac{{\widehat{w}}_e}{w_c})$ (17)

Окончательная оценка скорости после фильтрации:

${\widehat{w}}_e=\frac{\sqrt{{\widehat{E}}_a+{\widehat{E}}_{\beta }}}{{\phi }_f}$ (18)

Здесь ${\widehat{w}}_e$ – оцененная скорость ротора.

Окончательное компенсированное положение ротора:

${\widehat{\theta }}_e=\widehat{\theta }+\tilde{\theta }$ (19)

В силу вышесказанного, информация о противо-ЭДС, полученная с помощью STSMO, используется для замены традиционного наблюдателя скользящего режима. Затем, через фильтр нижних частот и адаптивный фильтр противо-ЭДС, информация о роторе в конечном итоге получается с помощью алгоритма арктангенса.

Адаптивная фильтрация ЭДС статора в PMSM

Сильная нелинейность функции signum (sgn) в уравнении генерирует высокочастотные колебания, спектрально проявляющиеся как белый шум. Этот шум частично сохраняется после низкочастотного фильтра, что приводит к снижению точности оценки угла ротора и устойчивости системы управления. Для минимизации влияния высокочастотного шума предлагается адаптивный фильтр наведенной ЭДС статора, обеспечивающий вторичную фильтрацию прогнозируемых значений. Данное решение повышает точность оценки угла ротора синхронного двигателя с постоянными магнитами на 20–25% в переходных режимах.

Вернемся к уравнению (6)–(7). Eго дифференцирование дает:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{E}_a\\ E_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-{w_e}^2{\phi }_f\cos {\theta }_e-\frac{d{w}_e}{dt}{\phi }_f\sin {\theta }_e\\ -{w_e}^2{\phi }_f\cos {\theta }_e+\frac{d{w}_e}{dt}{\phi }_f\cos {\theta }_e\end{array}\right]$ (20)

Поскольку механическая постоянная времени значительно превышает электрическую, частота изменения скорости вращения двигателя оказывается значительно ниже частоты дискретизации системы управления, что позволяет в пределах одного периода дискретизации принять:

$\frac{d{w}_e}{dt}=0$ (21)

Учитывая это, уравнение (20) может быть переписано как:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{E}_a\\ E_{\beta }\end{array}\right]=w_e\left[\begin{array}{l}-w_e{\phi }_f\cos {\theta }_e\\ -w_e{\phi }_f\sin {\theta }_e\end{array}\right]=w_e\left[\begin{array}{l}-E_{\beta }\\ E_a\end{array}\right]$ (22)

Из уравнения видно, что противо-ЭДС представляет собой связанную систему. Используя эту особенность, проектируется адаптивный фильтр противо-ЭДС:

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{\widehat{e}}_a\\ {\widehat{e}}_{\beta }\\ {\widehat{w}}_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-{\widehat{w}}_e{\widehat{e}}_{\beta }-l({\widehat{e}}_a-E_a)\\ {\widehat{w}}_e{\widehat{e}}_a-l({\widehat{e}}_{\beta }-E_{\beta })\\ ({\widehat{e}}_a-E_a){\widehat{e}}_{\beta }-({\widehat{e}}_{\beta }-E_{\beta }){\widehat{e}}_a\end{array}\right]$ (23)

Здесь ${\widehat{e}}_a{\widehat{e}}_{\beta }$ – противо-ЭДС на выходе адаптивного фильтра (до фильтрации STMO); $E_a\text{}{E}_{\beta }$ – противо-ЭДС после фильтрации алгоритмом STMO; ${\widehat{w}}_e$ – оцененная электрическая угловая скорость; l – коэффициент усиления фильтра.

Уравнение ошибки получено как разность уравнений (23) и (22):

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}{\tilde{e}}_a\\ {\tilde{e}}_{\beta }\\ {\tilde{w}}_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-{\widehat{w}}_e{\widehat{e}}_{\beta }-l{\tilde{e}}_a+w_e{E}_{\beta }\\ {\widehat{w}}_e{\widehat{e}}_a-l{\tilde{e}}_{\beta }-w_e{E}_a\\ {\tilde{e}}_a{\widehat{e}}_{\beta }-{\tilde{e}}_{\beta }{\widehat{e}}_a\end{array}\right]$ (24)

Здесь ${\tilde{e}}_i={\widehat{e}}_i-e_i$ – ошибка противо-ЭДС.

Строим функцию Ляпунова для доказательства устойчивости системы:

$v=\frac{1}{2}({{\tilde{e}}_a}^2+{{\tilde{e}}^2}_{\beta }+{{\tilde{w}}^2}_e)$ (25)

Подставляя уравнения (24), получаем:

$\begin{array}{l}\frac{dv}{dt}={\tilde{e}}_a\frac{d{\tilde{e}}_a}{dt}+{\tilde{e}}_{\beta }\frac{d{\tilde{e}}_{\beta }}{dt}+{\tilde{w}}_e\frac{d{\tilde{w}}_e}{dt}\\ \frac{dv}{dt}=({\widehat{w}}_e-{\tilde{w}}_e)\left({\tilde{e}}_{\beta }{\widehat{e}}_a-{\tilde{e}}_a{\widehat{e}}_{\beta }\right)+w_e({\tilde{e}}_a{E}_{\beta }+{\tilde{e}}_{\beta }{E}_a)-l\left({{\tilde{e}}_a}^2+{{\tilde{e}}_{\beta }}^2\right)\\ \frac{dv}{dt}=w_e\left[{\tilde{e}}_{\beta }\left(E_a+{\tilde{e}}_a\right)-{\tilde{e}}_a(E_{\beta }+{\tilde{e}}_{\beta })+{\tilde{e}}_a{E}_{\beta }-E_a{\tilde{e}}_{\beta }\right]-l\left({{\tilde{e}}_a}^2+{{\tilde{e}}_{\beta }}^2\right)\\ \frac{dv}{dt}=-l\left({{\tilde{e}}_a}^2+{{\tilde{e}}_{\beta }}^2\right)\le 0\end{array}$ (26)

доказывает устойчивость алгоритма.

Беспозиционное сенсорное управление на основе спирального скользящего наблюдателя с нечетким управлением

Решение проблемы чаттеринга. Хотя STSMO и способен повысить быстродействие и снизить уровень вибраций за счет интегральной составляющей (k₂), он обладает фундаментальным ограничением. Его работоспособность подтверждается определенностью границ внешних возмущений, при этом сами параметры настройки k₁ и k₂ (11) оказываются чувствительными к изменяющимся воздействиям, что осложняет их точный подбор и применение на практике.

Использование нечеткого управления: oтсутствие жесткой зависимости от математической модели объекта делает целесообразным внедрение алгоритма нечекого управления. Этот алгоритм обеспечивает адаптивную корректировку коэффициентов в реальном времени в процессе работы системы, что способствует повышению как робастности, так и точности наблюдения, в особенности в нелинейных системах управления. Итоговая реализация системы представлена на Рис. 4.

Реализация нечеткой логики и правила управления на Рис. 2 и 3:

 

Рис. 2. Правила нечеткого управления и K Область определения нечетких множеств

Fig. 2. Fuzzy control rules and the domain of definition of fuzzy sets for K

 

Рис. 3. S и dS Область определения нечетких множеств

Fig. 3. Domain of fuzzy sets for S and dS

 

Рис. 4. Функциональная схема модели PMSM с наблюдателем

Fig. 4. Functional diagram of the PMSM model with an observer

 

Анализ результатов моделирования

Для проверки эффективности предложенного подхода в среде MATLAB проведено имитационное моделирование разработанной системы с использованием стратегии векторного управления при id = 0. Параметры двигателя приведены ниже в Табл. 1.

 

Таблица 1. Таблица Параметры двигателя

Table 1. Motor parameters

	Параметр	Значение
1	Номинальное напряжение	311 В
2	Номинальная скорость вращения	800 об/мин
3	Сопротивление статора	2,875 Ом
4	Число пар полюсов	4
5	Потокосцепление ротора	0,175 Вб
6	Индуктивность	0,0085 Гн
7	Момент инерции	0,003 кг·м2

 

Задана начальная скорость 800 об/мин, которая в момент времени 0,1 с изменяется до 1000 об/мин. В начальном состоянии нагрузка отсутствует (0 Н·м), т.е. двигатель работает в режиме холостого хода, а через 0,2 с происходит ее скачкообразное увеличение до 5 Н·м. Результаты моделирования представлены на Рис. 5–7.

 

Рис. 5. Осциллограммы фактической и расчетной скорости вращения

Fig. 5. Oscillograms of actual and calculated rotational speed

 

Рис. 6. Ошибка оценки скорости вращения и добавляем нагрузку 0,2

Fig. 6. Rotational speed estimation error with a load of 0.2 added

 

Рис. 7. Осциллограмма оценки угла θ и Ошибка оценки $\tilde{\theta }$

Fig. 7. Oscillogram of angle θ estimation and estimation error $\tilde{\theta }$

 

Можно наблюдать, что внедрения наблюдателя с нечетким скользящим режимом позволяет достичь дальнейшего снижения установившейся ошибки. Наблюдаемое значение скорости стабилизируется с погрешностью, приближенной к нулю. При этом проявляется значительно меньший чаттеринг и обеспечивается лучшая устойчивость системы. Отличительной особенностью является повышенная точность оценок.

Заключение

Для решения проблем высокочастотных колебаний и фазового запаздывания в системе управления синхронным двигателем с постоянными магнитами была предложена усовершенствованная структура на основе STSMO с нечетко адаптируемыми коэффициентами. Реализация данной стратегии позволила повысить динамические характеристики за счет замены традиционных фиксированных коэффициентов скользящего режима на адаптивные, регулируемые нечетким контроллером; Результаты математического моделирования и экспериментов подтвердили, что разработанная схема управления обеспечивает повышенную точность и наблюдаемость состояния синхронных двигателей с постоянными магнитами, а также улучшает общую устойчивость системы.

Авторы заявляют что:

1. У них нет конфликта интересов;
2. Настоящая статья не содержит каких-либо исследований с участием людей в качестве объектов исследований.

The authors state that:

1. They have no conflict of interest;
2. This article does not contain any studies involving human subjects.

About the authors

Tamila S. Titova

Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Email: titova@pgups.ru
ORCID iD: 0000-0002-9328-0835
SPIN-code: 1558-5811

Dr. Sci. (Engineering), Professor

Russian Federation, St. Petersburg

Zetian Ren

Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Author for correspondence.
Email: 2732193903@qq.com
ORCID iD: 0009-0003-4326-4479

Master’s Degree Student

Russian Federation, St. Petersburg

References

Supplementary files