NON-PRISMATIC BEAM FINITE ELEMENTS FOR MODELING AND ANALYSIS OF SAILING SHIP AND YACHT RIGGING

Full Text

Введение

Для постановки и несения парусов на судах и яхтах служит рангоут. К рангоуту относятся мачты, стеньги, реи, бушприт, утлегарь, гафели, гики и другие рангоутные «деревья», называемые так, поскольку традиционным материалом для рангоута являлась древесина хвойных пород. В настоящее время рангоут изготавливают помимо древесины  из легких сплавов, стали и полимерно-композиционных материалов (ПКМ) – стеклопластика и углепластика. Для удержания рангоута в рабочем положении и несения некоторых парусов используется стоячий такелаж, включающий в себя ванты, штаги, фордуны и бакштаги. Для постановки, уборки и управления парусами и подвижным рангоутом служит бегучий такелаж – фалы, шкоты, брасы и др. Такелаж изготавливают из стальных, синтетических и растительных тросов. Совокупность рангоута, такелажа и парусов называют «парусным вооружением» [1], которое в конкретных случаях имеет свое наименование:  фрегат, барк, бриг, бригантина, шхуна, шлюп, тендер, иол и др.

Рангоутные «деревья» представляют собой балки, поперечное сечение которых может быть круглым, овальным, сплошным или пустотелым. Мачты яхт в настоящее время имеют сложный тонкостенный профиль. Особенностью рангоута парусных судов является его непризматичность. Так у мачт и стеньг размеры сечений уменьшаются от шпора к топу, у гиков, гафелей, бушприта и утлегаря уменьшение размеров наблюдается от пятки к ноку, у реев – от середины к нокам. На рисунке 1 приведен чертеж грот-мачты реплики брига «Феникс», на котором хорошо видна ее непризматичность.

Рис. 1.  Чертеж грот-мачты реплики брига «Феникс». 

В технических условиях [2] указано, что, например, для стальной мачты с расчетной длиной 25 м при толщине стенки 11–12,5 мм диаметр у шпора должен быть равен 530 мм, у палубы  – 700 мм, у салинга – 560 мм, у топа – 450 мм. Для стального рея длиной 20 м при толщине стенки 4–7 мм диаметр в середине рея должен быть равен 400 мм, на , ,  половины длины рея и у ноков соответственно 390, 360, 300 и 200 мм. Аналогичные требования приведены для стеньг, гиков, гафелей и бушпритов. Существенная непризматичность рангоута обусловлена с одной стороны особенностью распределения нагрузки от парусов и такелажа, а с другой – необходимостью снижения веса и аэродинамического сопротивления.

У парусных яхт с топовым вооружением металлические мачты имеют, как правило, постоянное сечение по длине. У яхт с дробным вооружением типа  и  верхняя часть мачты зауживается, а у яхт с безтакелажными мачтами типа «Джонка» размеры сечения мачт изменяются по всей длине по указанным выше причинам. Мачты яхт из ПКМ имеют в зонах крепления стоячего такелажа и на наиболее нагруженных участках утолщенные стенки. Деревянные пустотелые мачты при топовом и дробном вооружении, а также при отсутствии стоячего такелажа имеют участки со сплошным сечением.

Проектирование мачт подразумевает выбор схемы стоячего такелажа под конкретный тип и размеры парусного вооружения яхты, выбор материала, формы и размеров поперечных сечений мачты, краспиц и тросов стоячего такелажа, конструирование узлов крепления к мачте такелажа и элементов рангоута. Расчеты прочности и устойчивости мачт должны учитывать трехмерность деформирования и базироваться на анализе пространственной модели «мачта(ы) – стоячий такелаж».

Следует отметить, что, несмотря на наличие официальных документов, отечественных правил и методик проектирования и расчетов прочности рангоута парусных судов и яхт фактически не существует. Так, например, в [3] для спортивных яхт в части 7 «Рангоут, такелаж и паруса» в п.7.1.1 указано, что «рангоут и такелаж должны быть спроектированы и изготовлены в соответствии с хорошей морской практикой и соответствовать району эксплуатации спортивного парусного судна». В связи с этим при проектировании парусных судов и яхт конструкторы ориентируются на зарубежные правила и стандарты [4–6], например, правила DNV, GL, ABS, PRS, стандарт ISO 12215 и др. Вместе с тем для проектирования и расчетов прочности и устойчивости сложной пространственной тросово-стержневой системы «мачта(ы) – стоячий такелаж» успешно используется разработанная авторами данной статьи методика и программное обеспечение, позволяющие определять как внешние расчетные и критические нагрузки на рангоут от парусов, так и напряженно-деформированное состояние (НДС) рангоута и стоячего такелажа. Дальнейшему развитию этой методики, позволяющей уточнить и упростить моделирование и расчет непризматического рангоута парусных судов и яхт посвящена данная статья.

 

Методика расчетного проектирования рангоута

В статье [7] авторами была изложена оригинальная методика, включающая компьютерные программы, уточняющие и автоматизирующие весь процесс проектно-проверочных расчетов общей и местной прочности и устойчивости пространственной системы «мачта(ы) – стоячий такелаж» парусных судов и яхт. Описание методики и примеры расчетов приводятся также в [8–12]. Методика включает в себя определение ветровых нагрузок и расчет прочности и устойчивости системы «мачта(ы) – стоячий такелаж». Ветровые нагрузки определяются для конкретной схемы и площади парусности судна и его курса относительно ветра в зависимости от остойчивости или заданной скорости ветра по программе MAST. Разработаны математические модели, описывающие работу бермудских, латинских и гафельных косых парусов, спинакера и генакера. Программой вычисляются распределенные и сосредоточенные нагрузки от парусов на рангоут, несущие паруса штаги и бегучий такелаж. Расчеты прочности и устойчивости системы «мачта(ы) – стоячий такелаж» выполняются конечно-элементным методом упругих решений при заданном приращении ветровой нагрузки на каждом шаге нагружения по программе FESTA [13]. На каждом шаге нагружения исключаются сжатые тросовые элементы, проверяется устойчивость системы и определяется ее НДС. В библиотеке конечных элементов имеется балочный призматический элемент B2 с 12-ю степенями свободы и его редуцированный вариант B1для плоских моделей, конечные элементы тросов без и с поперечной нагрузкой, в которых возможен учет предварительного натяжения. В целях расширения возможностей методики разработана и введена в программу MAST математическая модель прямого паруса, в программе FESTA учтена возможность учета нелинейного деформирования тросов стоячего такелажа, а библиотека конечных элементов дополнена описываемым ниже непризматическим балочным элементом В4.

 

Непризматический балочный элемент В4

Полная потенциальная энергия непризматической балки в общем случае складывается из энергии деформации изгиба и поперечного сдвига в двух плоскостях инерции балки, энергии деформации осевого растяжения-сжатия и кручения (1).

 

                                         (1)

 

где

 ; ;

;  

 ;

 – функции продольного и изгибных перемещений оси балки по осям x, y, z соответственно;  – функция угла закручивания балки вокруг оси x;  – функции перемещений оси балки от сдвига по осям y, z соответственно; L – длина балки; , – модули упругости и сдвига материала балки;   – моменты инерции поперечного сечения балки при изгибе в плоскостях инерции xоy и xоz соответственно;  – площади поперечного сечения балки, сопротивляющиеся сдвигу при изгибе в плоскостях инерции xоy и xоz соответственно;  – полная площадь поперечного сечения балки;  – момент инерции поперечного сечения при кручении балки вокруг оси x;  – продольное усилие в балке, положительное при ее растяжении;  – интенсивности поперечной распределенной нагрузки в плоскостях xоy и xоz соответственно, положительные при действии в положительном направлении осей y и z.

Поскольку для относительно длинных элементов рангоута при их изгибе влияние поперечного сдвига мало, деформации сдвига будем учитывать приближенно. Согласно [14] можно положить

 

                                       (2)

 

где ,  – относительные жесткости балки, вычисленные в середине ее пролета.

Рис. 2.  Оси координат, узлы, узловые перемещения и нагрузка.

Принимая для функций перемещений и угла закручивания аппроксимации через узловые перемещения  в соответствии с [14] и рисунком 2 в виде (3–5)

 

 ,                          (3)

                                     (4)

                                    (5)

 

где

; ;

; ;

; ;

;

;

;

;

; ; ;   

 

и далее подставляя их в (1),  с учетом выражений (2) получим

 

                                                 (6)

 

где  – матрица жесткости КЭ с учетом влияния сдвига и продольной силы,   – вектор узловой нагрузки. Компоненты матрицы  и вектора  вычисляются по формулам (7–10) при указанном сочетании индексов i и j. При других сочетаниях компоненты  равны нулю. Функции  соответствуют функциям  при   и   .

 

  (7)

 (8)

              (9)                                   

                             (10) 

                                                                                                                                                                                                      Входящие в формулы (7-10) функции моментов инерции и площадей поперечных сечений балки представляются квадратичными полиномами в следующем виде

 

                     (11)

                        (12)

 

где      – значения характеристик поперечного сечения балки в 1-ом узле; – коэффициенты, зависящие от типа профиля, от значений характеристик поперечного сечения балки во 2-ом узле и от характера изменения характерного размера сечения, например, высоты или диаметра по длине балки. Опуская индексы, коэффициенты a и b можно вычислить по формулам

 

                       (13)

 

где  – соответствующая характеристика в середине пролета балки.

Характеристики поперечного сечения балки в 1-ом и 2-м узлах вычисляются по заданным размерам концевых сечений, кроме этого вычисляются характеристики среднего сечения в предположении линейного изменения характерного размера. Функции принимаются постоянными и равняются их значениям для среднего сечения по длине балки. В качестве примера в таблице 1 приведены коэффициенты квадратичной аппроксимации момента инерции при изгибе для симметричного двутавра, полой и сплошной трубы при отношении характерного размера сечения в 1-м и 2-м узлах равным 2.5. На рисунке 3 показаны точные кривые изменения моментов инерции по длине балки и их квадратичные аппроксимации. Видно, что наименее точно аппроксимируется квадратичным полиномом изменение момента инерции кругового профиля. Расчеты оказывают, что приемлемая точность аппроксимации достигается при отношении наибольшего характерного размера профиля к наименьшему не более двух.

 

Таблица 1

Коэффициенты a_Jz и b_Jz для трех типов профилей балки

Профиль	Размеры поперечого сечения, мм			aJz	bJz
	1-й узел	Середина	2-й узел
Двутавр	1000х15/200х20	700х15/200х20	400х15/200х20	0.440720	-1.29555
Труба	1000х20	700х20	400х20	0.779962	-1.72152
Круг	1000	700	400	1.09080	-2.06520

 

Рис. 3.  Моменты инерции по длине балки и их квадратичные аппроксимации

 

Ненулевые компоненты матрицы  вычисляются по следующим выражениям, причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     

                                                                                                    

 

Ненулевые компоненты вектора нагрузки при линейном изменении поперечной нагрузки    по длине балки согласно рисунку 2 имеют вид

 

                

                                 

 

Конечный элемент включен в библиотеку программы FESTA под именем В4.

Непризматические балочные элементы с круговым поперечным сечением

Безтакелажные мачты парусных судов и яхт с китайским вооружением «Джонка», нагруженные только поперечной нагрузкой, изгибаются, не испытывая сжатия и кручения. При этом они имеют круговое поперечное сечение, диаметр которого является, как правило, линейной функцией осевой координаты. На различных участках по длине мачты сечение может быть сплошным или кольцевым с постоянной толщиной стенки. На рисунке 4 изображена яхта с китайским парусом и безтакелажной конической мачтой.

Для расчета подобных мачт получен непризматический балочный конечный элемент с 4-я степенями свободы, имеющий либо сплошное круговое поперечное сечение, либо кольцевое сечение с постоянной толщиной стенки. Изменение момента инерции поперечного сечения точно соответствует линейному изменению диаметра мачты по ее длине. Функции внешнего диаметра и моментов инерции конической сплошной и пустотелой балки имеют вид

 

                         (14)

 

где     – диаметр сечения в 1-ом узле;  – диаметр сечения во 2-ом узле; t – толщина стенки.

Функцию прогиба балки    аппроксимируем аналогично элементу В4.

 

                                     (15)

 

где

;   ;

;

;

; ; .

 

Жесткости и     вычисляются для среднего сечения балки.

Рис. 4. Яхта с безтакелажной конической мачтой и конические элементы.

 

Коэффициенты симметричной матрицы жесткости конического конечного элемента балки с круговым сплошным поперечным сечением (элемент А) имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                   

 

Коэффициенты симметричной матрицы жесткости конического конечного элемента балки с круговым кольцевым поперечным сечением (элемент Б) имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                              

 

Компоненты вектора узловой нагрузки при линейном изменении поперечной нагрузки    по длине балки имеют вид

      

      

 

Верификация

Тестирование полученных конечных элементов было выполнено на задаче об изгибе безтакелажной мачты с переменным круговым сечением (рисунок 5).

Рис. 5. Безтакелажная коническая мачта.

 

Надпалубная конусная часть мачты длиной 11.79 м нагружена равномерно распределенной нагрузкой от паруса, подпалубная конусная часть длиной 4.21 м не нагружена. Рассмотрены варианты со сплошным и с кольцевым поперечным сечением с толщиной стенки 50 мм. Аналитическое решение получено интегрированием линейных дифференциальных уравнений изгиба и сдвига непризматической балки, т.к. наибольший угол поворота оси мачты не превышает 0.07 рад. Конечно-элементная модель мачты включает четыре элемента. В таблице 2 приведены прогибы топа мачты и погрешность по отношению к аналитическому решению при ее моделировании различными балочными конечными элементами. В скобках указано решение без учета деформаций сдвига. При учете сдвига в элементах B2, B4, А и Б площадь, сопротивляющаяся сдвигу, принята равной 90% и 70% от площади сплошного и кольцевого сечения соответственно.

 

Таблица 2

Прогиб топа безтакелажной мачты, мм

Тип мачты	Конечные элементы,  программы								Аналитическое решение
	Конические				Цилиндрические
	B4 FESTA	А, Б Mathcad	BEAM188 ANSYS	ABAQUS	B2 FESTA	BEAM188 ANSYS	ABAQUS	NASTRAN
	(456.06) -0.62 %	(456.37) -0.55 %	(459.94) +0.23 %	(471.9) +2.8 %	(536.37) +16.9 %	(537.69) +17.2 %	(489.4) +6.7 %	(536.37) +16.9 %	(458.88)
	456.27 -0.69 %	456.62 -0.61 %	460.52 +0.24 %	518.4 +12.8 %	537.09 +16.9 %	538.24 +17.2 %	538.8 +17.3 %	537.10 +16.9 %	459.44
	(582.53) -0.49 %	(582.74) -0.46 %	(587.87) +0.42 %	(625.9) +6,9 %	(671.98) +14.8 %	(673.95) +15.12 %	(613.4) +4.8 %	(671.97) +14.8 %	(585.41)
	583.30 -0.60 %	583.51 -0.56 %	588.70 +0.32 %	710.9 +21.1 %	673.62 +14.8 %	675.52 +15.12 %	697.4 +18.8 %	674.01 +14.9 %	586.81

 

Из таблицы 2 видно, что предлагаемые элементы В4, А и Б обладают заметно лучшей сходимостью в сравнении с цилиндрическими и даже некоторыми известными непризматическими элементами.

 

Заключение

Выполненные расчеты позволяют сделать следующие выводы:

1. Сравнение универсального элемента B4 с элементами А и Б показывает его хорошую сходимость и пригодность для расчетов при отношении наибольшего характерного размера поперечного сечения к наименьшему не более двух.
2. Приближенный учет малых деформаций поперечного сдвига в непризматических элементах B4, А и Б при расчетах удлиненных балок и балочных систем оправдан.
3. Среди существующих непризматических балочных элементов с опцией Taper sections наиболее точным является элемент BEAM188 в программе ANSYS. Подобный элемент в программе ABAQUS обладает существенно меньшей точностью, чем BEAM188 и предлагаемые элементы B4, А и Б. В программе NX NASTRAN непризматические балочные конечные элементы отсутствуют.

Приведенные в явном виде непризматические балочные конечные элементы позволяют сократить время моделирования, избежать неоднозначности моделирования реальной геометрии конструкций призматическими элементами, сократить объем исходной информации и повысить точность определения НДС при расчетах прочности и устойчивости тросово-балочных систем «рангоут – стоячий такелаж» парусных судов и яхт, а также других объектов техники.

About the authors

Vadim Anatoljevich Manukhin

St. Petersburg state marine technical university (SPbGMTU)

Author for correspondence.
Email: nikal6@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9064-179X
SPIN-code: 8615-4549

доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики корабля

Russian Federation, Россия, 190121, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3

Aleksandr Vladimirovich Kultsep

OOO «ЦКТИ-ВИБРОСЕЙСМ»

Email: akultsep@cvs.spb.su

доктор-инженер, главный специалист

Russian Federation, 195220, Санкт-Петербург, ул. Гжатская, 9

References

Supplementary files